平坦性

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数学ことに可換環論における平坦性(へいたんせい、flatness)とは、環上の加群ないし代数に関する性質の一つである。

定義[編集]

A を環、MA 加群とする。 A 加群からなる任意の短完全系列

0 \rightarrow N_1 \rightarrow N_2 \rightarrow N_3 \rightarrow 0

に対して、M とのテンソル積をとった系列

0 \rightarrow M \otimes_A N_1 \rightarrow M \otimes_A N_2 \rightarrow M \otimes_A N_3 \rightarrow 0

が完全になるとき、MA平坦である、または M は平坦 A 加群であるという。

なお一般の加群 M に対しては、

M \otimes N_1 \rightarrow M \otimes_A N_2 \rightarrow M \otimes_A N_3 \rightarrow 0

は完全系列となるが、左端の射が一般には単射にならない。

A 代数 B が平坦であるとは、BA 加群として平坦であることをいう。

性質[編集]

  • 自由加群は平坦である。射影加群も平坦である。
  • (推移性) B が平坦 A 代数で、M が平坦 B 加群ならば、MA 加群としても平坦である。
  • (係数拡大) A 加群 M が平坦ならば、任意の A 代数 B に対し、B 加群 M \otimes_A B も平坦である。
  • A_Sを環 A の積閉集合 S による局所化とすると、A_SA 上平坦である。
  • (局所性)上より、A の任意の素イデアル p に対し、M_p = M \otimes_A A_pは平坦な Ap 加群となる。逆に、任意の p に対しM_pA_p上平坦ならば、MA 上平坦である。
  • IA の自明でないイデアルとすると、A/IA_S の形に書ける場合を除き、A 加群 A/I は平坦でない。
  • A 加群 M が平坦であることと、任意の A 加群 N に対し Tor_1^A(M,N) = 0 となることとは同値である。

忠実平坦性[編集]

M は 平坦な A 加群であるとすると、次に述べる条件は同値である。これらの条件を満たすとき M忠実平坦A 加群であるという。

  • A の任意の極大イデアル m に対し、M \neq mM が成り立つ。
  • 0 \rightarrow M \otimes_A N_1 \rightarrow M \otimes_A N_2 \rightarrow M \otimes_A N_3 \rightarrow 0 が完全ならば、0 \rightarrow N_1 \rightarrow N_2 \rightarrow N_3 \rightarrow 0 も完全である。
  • 0でない任意の A 加群 N に対し、M \otimes_A N \neq 0 が成り立つ。

A 代数 B に関しても同様に忠実平坦性を定義する。この場合は次も同値である。

  • A の任意の素イデアル p に対し、A \cap q = p なる B の素イデアル q が存在する。

概型論[編集]

スキームの射 f: X \rightarrow Y が平坦であるとは、X のすべての点 x に対し、局所環の射 O_{Y,f(x)} \rightarrow O_{X,x} が平坦であることをいう。環における平坦性が局所的性質であることから、アフィンスキームの間の射の平坦性は対応する環の射の平坦性と同値である。

平坦かつ全射である射は忠実平坦であるという。これもアフィンスキームにおいては環での定義と一致する。

関連項目[編集]