ワトソンの五重積

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数学において次の恒等式をワトソンの五重積 (Watson Quintuple Product) という。

\sum_{n=-\infty}^{\infty}q^{n(3n+1)}(z^{3n}-z^{-3n-1})=\prod_{m=1}^{\infty}(1-q^{2m})(1-q^{2m}z)(1-q^{2m-2}z^{-1})(1-q^{4m-2}z^{2})(1-q^{4m-2}z^{-2})

証明[編集]

ヤコビの三重積により

\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^nq^{n(n+1)}z^{n}=\prod_{m=1}^{\infty}(1-q^{2m})(1-q^{2m}z)(1-q^{2m-2}z^{-1})
\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^nq^{2n^2}z^{2n}=\prod_{m=1}^{\infty}(1-q^{4m})(1-q^{4m-2}z^{2})(1-q^{4m-2}z^{-2})

オイラーの五角数定理により

\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^nq^{2n(3n-1)}=\prod_{m=1}^{\infty}(1-q^{4m})

これらを用いて五重積の公式を書き直せば

\sum_{m=-\infty}^{\infty}(-1)^mq^{2m(3m-1)}\sum_{n=-\infty}^{\infty}q^{n(3n+1)}(z^{3n}-z^{-3n-1})=\sum_{j=-\infty}^{\infty}(-1)^jq^{j(j+1)}z^{j}\sum_{k=-\infty}^{\infty}(-1)^kq^{2k^2}z^{2k}

となるので、この両辺が等しいことを証明する。左辺は

\begin{align}L
&=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{m}q^{2m(3m-1)+n(3n+1)}(z^{3n}-z^{-3n-1})\\
&=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{m}q^{2m(3m-1)+n(3n+1)}z^{3n}-\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{m}q^{-2m(-3m-1)-n(-3n+1)}z^{3n-1}\qquad({m,n}\mapsto{-m,-n})\\
&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{k-n}q^{(3n-2k)(3n+1-2k)+2k^2}z^{3n}-\sum_{k=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{k-n}q^{(3n-1-2k)(3n-2k)+2j^2}z^{3n-1}\qquad(m\mapsto{k-n})\\
&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{3n-k}q^{(3n-2k)(3n+1-2k)+2k^2}z^{3n}+\sum_{k=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{3n-1-k}q^{(3n-1-2k)(3n-2k)+2j^2}z^{3n-1}\\
\end{align}

さて

\begin{align}0
&=\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^{m}q^{m(m+1)}-\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}q^{n(n+1)}=\sum_{m=-\infty}^{\infty}(-1)^{m}q^{m(m+1)}\qquad(n\mapsto{-(m+1)})\\
&=\sum_{m=-\infty}^{\infty}(-1)^{m}(q^6)^{m(m-1)}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{2n-2}q^{3n^2-3n+2}z^{3n-2}\\
&=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{m+2n-2}q^{6m(m-1)+3n^2-3n+2}z^{3n-2}\\
&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{3n-2-k}q^{(3n-2-2k)(3n-1-2k)+2j^2}z^{3n-2}\qquad(m\mapsto{n-k})\\
\end{align}

であるから

\begin{align}L=L+0
&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{n-k}q^{(n-2k)(n+1-2k)+2k^2}z^{n}\qquad({3n,3n-1,3n-2}\mapsto{n})\\
&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\sum_{j=-\infty}^{\infty}(-1)^{k+j}q^{j(j+1)+2k^2}z^{j+2k}\qquad({n}\mapsto{j+2k})\\
&=\sum_{j=-\infty}^{\infty}(-1)^{j}q^{j(j+1)}z^{j}\sum_{k=-\infty}^{\infty}(-1)^{k}q^{2k^2}z^{2k}\\
\end{align}

となり、右辺を得る。

関連項目[編集]