リース兄弟の定理

数学におけるリース兄弟の定理（リースきょうだいのていり、英: F. and M. Riesz theorem）とは、リース・フリジェシュとリース・マルツェルの兄弟によって得られた「解析的測度」（analytic measure）に関する結果である。その定理によれば、円上の測度 μ の任意の部分がルベーグ測度 dθ について絶対連続でないことは、フーリエ係数によって調べることが出来る。より正確に言うと、 $\mu$ のフーリエ＝スティルチェス係数が

{\hat {\mu }}_{n}=\int _{0}^{2\pi }{\rm {e}}^{-in\theta }{\frac {d\mu (\theta )}{2\pi }}=0,\

を任意の $n<0$ に対して満たすなら、μ は dθ について絶対連続となる。

元々の定理の内容は異なる（Zygmund, Trigonometric Series, VII.8 を参照）。ここで紹介した内容は Rudin, Real and Complex Analysis, p.335 によるものである。証明にはポアソン核と、ハーディ空間 H¹ に対する境界値の存在が利用されている。

参考文献[編集]

F. and M. Riesz, Über die Randwerte einer analytischen Funktion, Quatrième Congrès des Mathématiciens Scandinaves, Stockholm, (1916), pp. 27-44.