ラウス・フルビッツの安定判別法

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ラウス・フルビッツの安定判別法(-あんていはんべつほう、Routh–Hurwitz stability criterion)は、連続時間の制御系が安定か不安定かを調べるための判別法の1つである。離散系におけるジュリーの安定判別法と対応する。

ラウスの安定判別法[編集]

1874年ラウスは、次の特性方程式

 a_0 s^n + a_1 s^{n-1} + a_2 s^{n-2} + \cdots + a_{n-1}s + a_n = 0

の係数  a_0,~ a_1,~ a_2,~\cdots,~ a_n から以下のような数列を作ったとき、この数列の符号を調べることで不安定根が存在するかどうか判別できることを示した。 上式の係数を次のような配列(ラウス配列)に並べる。


  \begin{array}{c|ccccc}
  s^n     & a_0 & a_2 & a_4 & a_6 & \cdots \\
  s^{n-1} & a_1 & a_3 & a_5 & a_7 & \cdots \\
  s^{n-2} & \displaystyle \frac{a_1 a_2 - a_0 a_3}{a_1}=b_1 & \displaystyle \frac{a_1 a_4 - a_0 a_5}{a_1}=b_2 & \displaystyle \frac{a_1 a_6 - a_0 a_7}{a_1}=b_3 & \cdots & \cdots \\
  s^{n-3} & \displaystyle \frac{b_1 a_3 - a_1 b_2}{b_1}=c_1 & \displaystyle \frac{b_1 a_5 - a_1 b_3}{b_1}=c_2 & \cdots & \cdots & \cdots \\
  s^{n-4} & \displaystyle \frac{c_1 b_2 - b_1 c_2}{c_1}=d_1 & \displaystyle \frac{c_1 b_3 - b_1 c_3}{c_1}=d_2 & \cdots & \cdots & \cdots \\
   \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
  s^0     &        &        &        &        &        \\
  \end{array}

このラウスの安定判別法は、

特性方程式の正の実部をもつ根の数は、ラウス配列の最初の列

 a_0 ,~ a_1 ,~ b_1 ,~ c_1 ,~ d_1

の正負の符号変化の数に等しい。

というものである。すなわち、ラウス配列の最初の列で符号変化があると、その制御系は不安定であるということになる。

フルビッツの安定判別法[編集]

1895年フルビッツは、ラウスの安定判別法とは独立にフルビッツの安定判別法を示した。 両判別法は数学的には全く同じであることがわかっている。

特性方程式

 a_0 s^n + a_1 s^{n-1} + a_2 s^{n-2} + \cdots + a_{n-1}s + a_n = 0

の根がすべて負の実部をもつための必要十分条件は(i)-(iii)のすべての条件を満たすことである。

(i) 係数  a_0,~ a_1 ,~ a_2 ,~ \cdots ,~ a_{n-1} ,~ a_{n} がすべて存在する。
(ii) すべての係数が同符号である。
(iii) 以下の行列式がすべて正であること(a_0 >0とする)。
 D_1 = a_1 ,~
 D_2 = \begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ a_0 & a_2  \end{vmatrix} ,~
 D_3 = \begin{vmatrix} a_1 & a_3 & a_5 \\ a_0 & a_2 & a_4 \\ 0 & a_1 & a_3 \end{vmatrix} ,~
 \vdots
 D_{n-1} = 
          \begin{vmatrix} 
          a_1 & a_3 & a_5 & \cdots & a_{2n-3} \\
          a_0 & a_2 & a_4 & \cdots & a_{2n-4} \\
          0   & a_1 & a_3 & \cdots & a_{2n-5} \\
          0   & a_0 & a_2 & \cdots & a_{2n-6} \\
          0   & 0   & a_1 & \cdots & a_{2n-7} \\
          \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
          0   & 0   & 0   & \cdots & a_{n-1} \\
          \end{vmatrix}

関連項目[編集]

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