ブロカール点

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三角形のブロカール点

ブロカール点(Brocard point)は、幾何学用語のひとつ。第一と第二の2つがあり、それぞれ任意の三角形においてひとつずつ存在する。

1875年に論文を発表したフランスの軍人アンリ・ブロカール (Henri Brocard、1845 - 1922) から命名された。

第一ブロカール点(1st Brocard point)
△ABCの内部の点Ωにおいて、∠ΩAB=∠ΩBC=∠ΩCA=ωを満たす点のこと。
第二ブロカール点(2nd Brocard point)
△ABCの内部の点Ωにおいて、∠ΩAC=∠ΩCB=∠ΩBA=ωを満たす点のこと。

ブロカール角[編集]

定義中に登場した角度ωをブロカール角と呼ぶ。三角形の3つの角の大きさをαβγ、3辺の長さを abc、面積を S とすると以下の式が成り立つ。

  • \cot \omega = \cot \alpha + \cot \beta + \cot \gamma
  • \tan \omega = \frac {4S}{a^2+b^2+c^2}
  • \sin \omega = \frac{2S}{\sqrt{b^2c^2+a^2c^2+a^2b^2}}
  • \omega \leq 30^o

その他の性質[編集]

四角形におけるブロカール点[編集]

F.G.W.Brown は1917年の Math Gazette において、四角形のブロカール点について記述している[1]

四角形が ABCD が円に内接し、AB×CD=BC×DA のとき、∠PAB=∠PBC=∠PCD=∠PDA=ω となる点Pが存在する。同様に∠QAD=∠QBA=∠QCB=∠QDC=ω となる点Qが存在する。

脚注[編集]

  1. ^ 1910年代の目次

関連項目[編集]