フェルミの黄金律

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フェルミの黄金律(フェルミのおうごんりつ)またはフェルミの黄金則(フェルミのおうごんぞく)とは、量子系のあるエネルギー固有状態から別のエネルギー固有状態への単位時間あたりの遷移確率を、摂動法の最低次数の近似によって計算する方法である。

概要[編集]

あるハミルトニアン \hat{H_0}固有状態 | i\rangle であった系に、\hat{H'}で表される摂動が加えられた場合を考える。

もし \hat{H'} が時間依存しない場合、系は始状態と同じエネルギー固有状態のままである。

もし \hat{H'} が時間の関数として角振動数 \omega で振動する場合、系は始状態からエネルギーが \hbar\omega だけ異なるエネルギー固有状態に遷移する。

どちらの場合でも、始状態 | i\rangle から終状態の組 | f\rangle への単位時間あたりの遷移確率は、一次の摂動をとることで、以下のように与えられる。

 T_{i \rightarrow f}= \frac{2 \pi} {\hbar}  \left | \langle f|\hat{H'} |i  \rangle \right |^{2} \rho

ここで、\rho は 終状態の状態密度(単位エネルギーあたりの状態数)、 \langle f|\hat{H'}|i  \rangle \hat{H'} をエネルギー固有状態で行列表示した時の、始状態と終状態についての行列要素遷移モーメントと呼ばれる。この遷移確率は崩壊確率とも呼ばれ、平均寿命と関連がある。

この方程式を導出する最も一般的な方法は、時間依存の摂動論から出発し、遷移に必要な時間より測定の時間がはるかに大きいという仮定をおくことである。

フェルミの名前が入っているが、黄金律を導く大半の仕事はディラックによって成された[1]。ディラックは、定数、摂動の行列要素、エネルギー差の3つから成る、ほぼ同等の定式化をした。名前は、フェルミがこの便利な関係式を「第二の黄金律だ。」と言ったことに由来する [2]。これはいわゆるスティグラーの名前由来の法則英語版の一例である。

フェルミの黄金律に含まれているのは行列要素 \langle f|\hat{H'}|i  \rangleの絶対値のみだが、この行列要素の位相には遷移過程についての別の情報が含まれている。これは電子輸送における半古典的ボルツマン方程式における黄金律を補足するものである[3]

導出[編集]

ハミルトニアンが以下のように時間に依存しているとする。

\hat{H}=\hat{H_0}+\hat{H'}(t)
\hat{H'}(t)=\hat{H'}e^{-i\omega t}

時間発展はシュレーディンガー描像であるとすると、時間発展は時間依存シュレーディンガー方程式に従う。

i\hbar\frac{\partial{}}{\partial{}t}|\psi(t)\rangle=\Big[\hat{H_0}+\hat{H'}(t)\Big]|\psi(t)\rangle

この式を、時間発展が相互作用表示であるとして書き換える。相互作用表示での状態ベクトルとハミルトニアンは、

|\psi(t)\rangle_I=e^{i\frac{\hat{H_0}}{\hbar} t}|\psi(t)\rangle
\hat{H'}_I(t) = e^{i\frac{\hat{H_0}}{\hbar} t} \hat{H'}(t) e^{-i\frac{\hat{H_0}}{\hbar} t}

よってシュレーディンガー方程式は以下のように書き換えられる。

i\hbar\frac{\partial{}}{\partial{}t}|\psi(t)\rangle_I=\hat{H'}_I(t)|\psi(t)\rangle_I

この形式解は、

|\psi(t)\rangle_I = |\psi(0)\rangle_I + \frac{1}{i\hbar}\int_{0}^{t} \hat{H'}_I(t')|\psi(t')\rangle_I dt'

右辺の|\psi(t)\rangle_I \ にこの式を繰り返し代入していく。\hat{H'}_I(t)の1次まで採用すると、

|\psi(t)\rangle_I = \Bigg( 1 + \frac{1}{i\hbar}\int_{0}^{t} \hat{H'}_I(t') dt'\Bigg) |\psi(0)\rangle_I

ここで再び時間発展がシュレーディンガー描像として書き換えると、

|\psi(t)\rangle = e^{-i\frac{\hat{H_0}}{\hbar} t} \Bigg( 1 + \frac{1}{i\hbar}\int_{0}^{t} e^{i\frac{\hat{H_0}}{\hbar} t'} \hat{H'}(t') e^{-i\frac{\hat{H_0}}{\hbar} t'} dt'\Bigg) |\psi(0)\rangle

よってt秒後に始状態\psi(0)=\psi_i \ が終状態\psi_f \ に遷移する割合\Big| \langle \psi_f | \psi(t) \rangle \Big|^2 \

\Big| \langle \psi_f | \psi(t) \rangle \Big|^2 
= \Big| \langle\psi_f| e^{-i\frac{\hat{H_0}}{\hbar} t} |\psi_i\rangle + \frac{1}{i\hbar} \langle\psi_f|e^{-i\frac{\hat{H_0}}{\hbar} t} \int_{0}^{t} e^{i\frac{\hat{H_0}}{\hbar} t'} \hat{H'}(t') e^{-i\frac{\hat{H_0}}{\hbar} t'} dt' |\psi_i\rangle \Big|^2

摂動が加わって充分時間が経過した後の単位時間あたりの遷移確率は

 T_{i \rightarrow f}
=\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{d}{dt}\Big| \langle \psi_f | \psi(t) \rangle \Big|^2 
=\frac{2\pi}{\hbar}\Big|\langle \psi_f|\hat{H'}|\psi_i\rangle \Big|^2 \delta( E_f - E_i - \hbar \omega )

脚注[編集]

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  1. ^ Dirac, P.A.M. (1 March 1927). “The Quantum Theory of Emission and Absorption of Radiation”. Proc. Roy. Soc. (London) A 114 (767): 243–265. Bibcode 1927RSPSA.114..243D. doi:10.1098/rspa.1927.0039. JSTOR 94746.  See equations (24) and (32).
  2. ^ Fermi, E. (1950). Nuclear Physics. University of Chicago Press. 
  3. ^ N. A. Sinitsyn, Q. Niu and A. H. MacDonald (2006). “Coordinate Shift in Semiclassical Boltzmann Equation and Anomalous Hall Effect”. Phys. Rev. B 73 (7): 075318. arXiv:cond-mat/0511310. Bibcode 2006PhRvB..73g5318S. doi:10.1103/PhysRevB.73.075318. 

参考文献[編集]

関連項目[編集]

外部リンク[編集]