ノート:4つの4

使用可能な記号について

「以下の記号が使われることもある」として、2重階乗(4!!)やパーセント(4%=0.04)、ガンマ関数(Γ4=6)などが、使用可能な記号に入っていますが、これは公式に認められているのでしょうか?　認められていないのならば、「使用可能な記号」ではないと思います。--Math70 2009年6月14日 (日) 07:59 (UTC)

そもそも「公式な」ルールというものは存在するのでしょうか？

私は、「一般的に使用される記号」は「ノレッジ」誌にこの問題が出題されたときに使用が許可された記号なのではないかと考えています。

出題された問題に対し条件を変更して解を考察することはよくあることなので、記号を追加して解を考えても問題ないと考えます。--PuzzleBachelor 2009年6月14日 (日) 10:44 (UTC)

シグマ

本文を見て、Σ 4 が 1+2+3+4 を表すのはどうしてか悩んだ。色々考えたが、$\sum _{k=1}^{4}k$の”省略”であるとするしか理由が思いつかなかった。そうであるなら、省略できるようなものではないと思う。検索してみても、Σはあまり使われている様でもないので、リストの下の方に移動しておいた。まぁ、遊びのルールなので、使う人の勝手といえば勝手だが・・・。それとも、もっと正当な理由があるのだろうか？Dada 2006年3月28日 (火) 17:14 (UTC)

一般的な用法ではないですが、数学パズルの愛好家の間では

$\Sigma k=\sum _{k=1}^{4}k={\frac {n(n+1)}{2}}$

と扱うというルールがあります。ちなみにポルトガル語版は n? という表記法で同等の演算を行っています。PuzzleBachelor 2007年9月8日 (土) 05:56 (UTC)

前回見たときは気付きませんでしたが、すごい式を書きましたね。

$\Sigma n:=\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}$

の意味ですよね！。Dada 2007年9月18日 (火) 12:14 (UTC)

113

113 の式が提示されましたが、

$.{\dot {\sqrt {4}}}$

のように「小数点の後に数字以外のものを置く」というのは認められるのでしょうか？認められるとしたら

$.{\dot {4!}}=.{\dot {2}}{\dot {4}}={\frac {8}{33}}$

を利用して157を作ることもできます[1]。PuzzleBachelor 2007年9月8日 (土) 05:56 (UTC)

記号の使用方法として、おかしなものであることは明白なので除きました。Dada 2007年9月15日 (土) 01:01 (UTC)

私は４つの４の説明に書いてあるルールにしたがって解を記しました。 あれがだめだというのなら説明文にそう書くべきだと思います。今のままでは 記号の使用方法の説明が不十分でありどの程度まで使ってよいか判断しかねます 実際、私はあの記号さえ使っていればいいと思いました。--Wagase 2007年9月17日 (月) 14:24 (UTC)

小数点は、その後に数字がある場合、何を表しているか分かりますが、示された例ではどう解釈したらいいのか不明です。循環節を示す点についても同様です。記号の使用方法の説明が不十分と感じられたようですが、「記号は、通常使用されている通りの用法で使用すること」という説明を付けるのは冗長だと考えます。Dada 2007年9月18日 (火) 12:14 (UTC)

記号を通常使用されている通りの用法で使用することは自明であるとして 私が提示した式が通常使用されている通りの用法でないとは言い切れないかと 思います。

$.{\dot {\sqrt {4}}}$

は下の数学的に真である等式から解釈できると考えます。

$.{\dot {2}}={2 \over 9}$

${\sqrt {4}}=2$

組み合わせて

$.{\dot {\sqrt {4}}}={2 \over 9}$

とします。だから

$.{\dot {4!}}=.{\dot {2}}{\dot {4}}={\frac {8}{33}}$

も解釈できる以上使ってよいとするべきです。 また乱暴な言い方になるかもしれませんが このように使わないと現代では解が存在しない以上 パズルとして１～１０００までの解答があるべきなのだから （不可能ということも証明できていないから） 「この使用法を許すのならば」という前提のもと 「誰もが納得するまったく問題のない解が発見される」まで １１３や１５７の予備解答例として掲示してもいいのではと思います。--Wagase 2007年9月18日 (火) 13:42 (UTC)

2点だけ反論しておきます。

＞$.{\dot {2}}={2 \over 9}$

＞${\sqrt {4}}=2$

＞組み合わせて

＞$.{\dot {\sqrt {4}}}={2 \over 9}$

${\sqrt {4}}$が2と同じだからと言う理由でこの表記を認めるなら、同じ理屈で

$4{\sqrt {4}}=42$

も認める必要があると思います。

＞パズルとして１～１０００までの解答があるべき

そんな前提は存在しません。解も解がないことの証明もなければ数学などと同様未解決問題として扱われるだけです。PuzzleBachelor 2007年9月18日 (火) 13:55 (UTC)

そうですね。そちらに理があるのは重々わかっています。 wikipedia は百科事典なので公に認められる内容であるべきですからね。 第三者の意見が聞きたいですね。このまま一対一でいがみ合っても いやですから。せっかく作った式なのでここに残しておこうと思います。(非公認)

$113$

$=$

$4! \over .{\dot {\sqrt {4}}}$

$+$

${\sqrt {4}} \over .4$

--Wagase 2007年9月19日 (水) 17:36 (UTC)

数学関数が使用可能な場合

数学関数が使用可能な場合に、3つの4ですべての正の整数を表現できるとありますが、ここまでやっても認められるとすれば

$n=\left[-\ln {\left(\ln {\sqrt {\sqrt {\cdots {\sqrt {4}}}}}\right)}\right]$

で√の数を適当に選べば、1つの4ですべての正の整数を表現できます。--クモハモハ大王 2008年4月26日 (土) 01:45 (UTC)

おっしゃることの意味が今ひとつよくわからないのですが、根号をk回使ったときの上の式の値は

$-\ln(\ln(2^{2^{1-k}}))=-((1-k)\ln(2)+\ln(\ln(2)))$

になるのではないでしょうか。これでは整数はできません。ところで、記事の方の下から2つめの式は間違っていたようなので直しておきました。ご確認ください。--Makotoy 2008年4月26日 (土) 08:49 (UTC)

説明不足ですみません。上記の$\left[....\right]$は、ガウス記号を書いたつもりでした。--クモハモハ大王 2008年4月26日 (土) 09:47 (UTC)

あまりこういう数学パズルのことはよく知らないのですけれど、床関数（それとペアノ算術の「後者関数」記号 suc とかも？）を使ったりして目的の数を得るのは「興醒め」な手だと見なされたりするのではないですか？確かにおっしゃる方法で任意の自然数が作れると思いますけれど、できればこれを記事に加筆するのはどこかの書籍に出典があることを確認してからにしていただきたいです。基本的に、ウィキペディアに書かれる情報はすでに世間に発表され、広く認められている必要があります。--Makotoy 2008年4月27日 (日) 01:11 (UTC)

そもそも「数学関数」という表現がまずいのではないかなあ、と思って修正しておきました。これはきちんと定義された用語ではないはずですので、どういう関数 を用いてよいのか曖昧になってしまいます。どんな関数でも使ってよいのなら、問題は trivial です。--白駒 2008年4月30日 (水) 11:59 (UTC)

出典メモ

出典とできそうな文献を見つけましたので、ここに記録しておきます。中身を精査していないので、とりあえずここに。

20世紀初頭に解答例が示された（Rouse Ball氏による1913年の発表が有名）

木下眞二; 逢沢明 (2003), “数学パズル「4つの4」の進展 : 「7つの2で2000を作る」から「1つの0で任意の整数を作る」まで”, 人間福祉研究 (北翔大学) 6: 175-176, ISSN 13440039, http://ci.nii.ac.jp/naid/110001024774/ 

ただし、113、157、878、881、893、917、943、946、947を除く。「4つの4」の初発は1881年・科学雑誌「ノレッジ」での掲載。

Ball, W. W. Rouse (1912), “Four Fours. Some Arithmetical Puzzles”, The Mathematical Gazette (The Mathematical Association) 6 (98): 289-290, http://www.jstor.org/stable/3603066 

--Akaniji 2009年10月23日 (金) 23:28 (UTC)