カルノーの定理 (幾何学)

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\begin{align} & {} \qquad DG + DH + DF  \\ & {} = |DG| + |DH|- |DF| \\ & {} = R + r \end{align}

カルノーの定理は、フランス数学者ラザール・カルノーに由来する、初等平面幾何学における定理である。

定理[編集]

任意の三角形 ABC において、外接円中心 D と3辺との符号付き距離の和は、外接円の半径 R内接円の半径 r の和に等しい。すなわち、右図において、

DF + DG + DH = R + r\,

が成立することを主張するものである。ただし、三角形の各辺への垂線 DX (X = F, G, H) が当該三角形の外側に完全に出てしまう場合に限り、符号付き距離の符号を負にとるものとする。

応用[編集]

カルノーの定理は、三上義夫林鶴一によって紹介されたとされる、"Japanese theorem" の証明に使用される。

幾何学におけるもう一つの「カルノーの定理」[編集]

幾何学において“カルノーの定理”と呼ばれる定理としては、上記のほかに、シムソンの定理の一般的な場合として、任意の三角形の外接円上の点から、当該三角形の各辺へ同じ向きに同じ角をなす直線を引いたときの3辺との交点が一直線上にあることを主張する定理がある。

参考文献[編集]

  • 上垣渉 (2001): Japanese Theoremの起源と歴史, 三重大学教育学部研究紀要. 自然科学, 52, 23-45[1]
  • 矢野健太郎 (1981): 『幾何の有名な定理』, 数学ワンポイント双書, 共立出版, ISBN 9784320010765

関連項目[編集]

外部リンク[編集]