オイラーの定理 (数論)

数論において、オイラーの定理（Euler's theorem）は初等整数論の最も基本的な定理の一つである。

概要

nが正の整数でaをnと互いに素な正の整数としたとき,

a^{\varphi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}

が成立する。ここで $\varphi (n)$ はオイラーのφ関数である。

この定理はフェルマーの小定理の一般化であり、この定理をさらに一般化したものがカーマイケルの定理である。

nと互いに素なn以下の正の整数の集合を

A=\{b_{1},b_{2},...,b_{\varphi (n)}\}

とする。

この要素のそれぞれにaを乗じた集合

B=\{ab_{1},ab_{2},...,ab_{\varphi (n)}\}

を考えればaとnは互いに素だから、集合A,Bは法をnとしたときに一致し、当然その積も法nにおいて等しくなる。すなわちAの要素の積をPとすれば、

P\equiv a^{\varphi (n)}P{\pmod {n}}

nとPは互いに素だから

a^{\varphi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}

(証明終)

例えば7^2009の下二桁を求めたいときに、次のように考えることができる。

$\varphi (100)=40$ なので,オイラーの定理から $7^{40}\equiv 1{\pmod {100}}$ .

よって $7^{2009}=7^{9}\times (7^{40})^{50}\equiv 7^{9}\equiv 7{\pmod {100}}$

ゆえに下二桁は07になる。