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2020年4月21日 (火) 01:00時点における版

疫学において、次世代行列（じせだいぎょうれつ、英: next-generation matrix）は、感染症の流行に関するコンパートメントモデル（英語版）の基本再生産数を得るのに用いられる。個体群動態においては、構造化個体群モデルの基本再生産数を計算するのに用いられる^[1]。マルチタイプの分岐過程でも、同様の計算に用いられる^[2]。

次世代行列を用いて基本再生産数を計算する方法は Diekmann et al. (1990)^[3] と van dern Driessche and Watmough (2002)^[4] によって与えられた。次世代行列を用いて基本再生産数を計算するために、集団全体を $n$ 個のコンパートメントに分割し、はじめの $m$ 個を感染集団のコンパートメントとする。時刻 $t$ におけるコンパートメントの個体数を $x=(x_{1},\dotsc ,x_{n})^{T}$ とおき、流行モデル

{\frac {dx_{i}}{dt}}={\mathcal {F}}_{i}(x)-{\mathcal {V}}_{i}(x)\qquad ({\mathcal {V}}_{i}(x)={\mathcal {V}}_{i}^{-}(x)-{\mathcal {V}}_{i}^{+}(x))

を考える。ここで ${\mathcal {F}}_{i}(x)$ は $i$ 番目のコンパートメントにおける新規感染の発生率を表しており、 ${\mathcal {V}}_{i}^{+}(x)$ は他のコンパートメントから $i$ 番目のコンパートメントへの遷移率を、 ${\mathcal {V}}_{i}^{-}(x)$ は $i$ 番目のコンパートメントから他のコンパートメントへの遷移率を表している。このとき

{\mathcal {F}}(x)=({\mathcal {F}}_{1}(x),\dotsc ,{\mathcal {F}}_{n}(x))^{T},\qquad {\mathcal {V}}(x)=({\mathcal {V}}_{1}(x),\dotsc ,{\mathcal {V}}_{n}(x))^{T}

とおけば、上のモデルは

{\frac {dx}{dt}}={\mathcal {F}}(x)-{\mathcal {V}}(x)

と書くこともできる。いま $x 0$ を感染症のない定常状態とする。このとき ${\mathcal {F}}(x)$ と ${\mathcal {V}}(x)$ のヤコビ行列は $x 0$ において

D{\mathcal {F}}(x_{0})={\begin{bmatrix}F&0\\0&0\end{bmatrix}},\quad D{\mathcal {V}}(x_{0})={\begin{bmatrix}V&0\\J_{3}&J_{4}\end{bmatrix}}

となる。ここで $F$ と $V$ は

F={\begin{bmatrix}{\frac {\partial {\mathcal {F}}_{i}}{\partial x_{j}}}(x_{0})\end{bmatrix}}_{1\leq i,\,j\leq m},\quad V={\begin{bmatrix}{\frac {\partial {\mathcal {V}}_{i}}{\partial x_{j}}}(x_{0})\end{bmatrix}}_{1\leq i,\,j\leq m}

で定義される $m$ 次正方行列である。このとき $K = FV -1$ は次世代行列と呼ばれる。その最大固有値、すなわちスペクトル半径 $R 0 = ρ (K)$ がこのモデルの基本再生産数である。

参考文献

^ Zhao, Xiao-Qiang (2017), “The Theory of Basic Reproduction Ratios”, Dynamical Systems in Population Biology (Springer International Publishing): pp. 285–315, doi:10.1007/978-3-319-56433-3_11, ISBN 978-3-319-56432-6
^ Mode, Charles J. (1971). Multitype Branching Processes: Theory and Applications. New York: American Elsevier Pub. Co. ISBN 0-444-00086-0. OCLC 120182
^ Diekmann, O.; Heesterbeek, J. A. P.; Metz, J. A. J. (1990). “On the definition and the computation of the basic reproduction ratio $R 0$ in models for infectious diseases in heterogeneous populations”. Journal of Mathematical Biology 28 (4): 365–382. doi:10.1007/BF00178324. hdl:1874/8051. PMID 2117040.
^ van den Driessche, P.; Watmough, J. (2002). “Reproduction numbers and sub-threshold endemic equilibria for compartmental models of disease transmission”. Mathematical Biosciences 180 (1–2): 29–48. doi:10.1016/S0025-5564(02)00108-6. PMID 12387915.

出典

Ma, Zhien; Li, Jia (2009). Dynamical Modeling and Analysis of Epidemics. World Scientific. ISBN 978-981-279-749-0. OCLC 225820441
Diekmann, O.; Heesterbeek, J. A. P. (2000). Mathematical Epidemiology of Infectious Disease. John Wiley & Son. ISBN 0-471-98682-8
Hefferenan, J. M.; Smith, R. J.; Wahl, L. M. (2005). “Prospective on the basic reproductive ratio”. J. R. Soc. Interface 2 (4): 281–293. doi:10.1098/rsif.2005.0042. PMC 1578275. PMID 16849186.

[1] Zhao, Xiao-Qiang (2017), “The Theory of Basic Reproduction Ratios”, Dynamical Systems in Population Biology (Springer International Publishing): pp. 285–315, doi:10.1007/978-3-319-56433-3_11, ISBN 978-3-319-56432-6

[2] Mode, Charles J. (1971). Multitype Branching Processes: Theory and Applications. New York: American Elsevier Pub. Co. ISBN 0-444-00086-0. OCLC 120182

[3] Diekmann, O.; Heesterbeek, J. A. P.; Metz, J. A. J. (1990). “On the definition and the computation of the basic reproduction ratio $R 0$ in models for infectious diseases in heterogeneous populations”. Journal of Mathematical Biology 28 (4): 365–382. doi:10.1007/BF00178324. hdl:1874/8051. PMID 2117040.

[4] van den Driessche, P.; Watmough, J. (2002). “Reproduction numbers and sub-threshold endemic equilibria for compartmental models of disease transmission”. Mathematical Biosciences 180 (1–2): 29–48. doi:10.1016/S0025-5564(02)00108-6. PMID 12387915.

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