局所密度近似

局所密度近似(きょくしょみつどきんじ、Local Density Approximation, LDA)は、密度汎関数理論に基づくコーン・シャム理論に現れる交換相関エネルギーに対する近似のひとつ。

概要

コーン・シャム理論に基づく計算を実際に行う為にはコーン-シャムの交換・相関エネルギー $E_{\rm {xc}}$ が与えられなくてはならないが、その厳密な表式を得ることは困難であると考えられている。そこで次のような関数形を仮定する。

E_{\rm {xc}}[n]=\int \epsilon _{xc}(n(\mathbf {r} ))n(\mathbf {r} )d\mathbf {r}

ここで、 $n(\mathbf {r} )$ は電子の電荷密度（電子密度）である。この関数形で $E_{\rm {xc}}$ を近似することが局所密度近似と呼ばれるものである。この仮定では空間の各点で（つまり局所的に）電子の交換・相関エネルギー密度 $\epsilon _{\rm {xc}}$ が決まっており、 $\epsilon _{\rm {xc}}$ はその場所の電子密度 $n(\mathbf {r} )$ だけの関数になっている。

ホーヘンベルグ・コーンの定理によれば、この $E_{\rm {xc}}$ は取り扱う系に依存しない普遍的な関数である。よって、もし局所密度近似が妥当であれば、 $\epsilon _{\rm {xc}}$ は（計算しやすい）一様電子系について求めた値でも、実際に計算したい系の値でも同じはずである。このようにして、一様電子系についてもとめた $\epsilon _{\rm {xc}}$ を用いることが正当化され、実際の計算に用いることができる。

実際に用いられる $\epsilon _{\rm {xc}}$ の関数形は、厳密に求められる低密度、高密度の極限からの外挿によるもの[1]-[5]や、モンテカルロ法を使ったもの[8][9][10]などがある。

代表的な関数形

[1] E. P. Wigner, Phys. Rev. 46 (1934) 1002.
[2] U. von Barth and L. Hedin, J. Phys. C5 (1972) 1629.
[3] J. F. Janak, V. L. Morruzi and A. R. Williams, Phys. Rev. B12 (1975) 1257.
[4] O. Gunnarsson and B. I. Lundquvist, Phys. Rev. B13 (1976) 4247.
[5] A. H. MacDonald and S. H. Vosko, J. Phys. C: Solid State Phys., Vol. 12 (1979) 2977.
[6] S. H. Vosko, L. Wilk and M. Nusair, Can, J, Phys. 58 (1980) 1200.
[7] J. P. Perdew and Y. Wang, Phys. Rev. 45 (1992) 13244.

[Monte Carlo]
[8] D. M. Ceperley, Phys. Rev. B18 (1978) 3126.
[9] D. M. Ceperley and B. J. Alder, Phys. Rev. Lett., 45 (1980) 566.
[↑Parametrize↑]
[10] J. Perdew and A. Zunger, Phys. Rev. B23 (1981) 5048.
[11] G. Ortiz, H. Harris, and P. Ballone, Phys. Rev. Lett. 82 (1999) 5317.
[12] F. H. Zong, C. Lin, D. M. Ceperley, Phys. Rev. E66 (2002) 036703.

参考文献

W. Kohn; L. J. Sham (1965). “Self-Consistent Equations Including Exchange and Correlation Effects”. Physical Review 140 (4A): A1133-1138. doi:10.1103/PhysRev.140.A1133.

概要

代表的な関数形

参考文献

関連項目