多項係数

数学における多項係数（たこうけいすう、英: Multinomial coefficient）は二項係数の一般化である。

定義

非負整数列 $k 1, k 2, \dots, k r$ および $n = k 1 + k 2 + \dots + k r$ に対し、多項係数は

{n \choose k_{1},k_{2},\dotsc ,k_{r}}:={\frac {n!}{k_{1}!\dotsm k_{r}!}}

で定義される。ここに $x!$ は $x$ の階乗を表す。

多項係数は必ず整数である。多項係数は二項係数を用いて

{k_{1} \choose k_{1}}{k_{1}+k_{2} \choose k_{2}}\dotsm {k_{1}+k_{2}+\dotsb +k_{r} \choose k_{r}}=\prod _{i=1}^{r}{\sum _{s=1}^{i}k_{s} \choose k_{i}}

と表すこともできる。

応用と解釈

多項定理

詳細は「多項定理」を参照

二項定理の一般化として、多項定理と呼ばれる等式

(x_{1}+\dotsb +x_{r})^{n}=\sum _{k_{1}+\dotsb +k_{r}=n}{n \choose k_{1},\dotsc ,k_{r}}\cdot x_{1}^{k_{1}}\dotsm x_{r}^{k_{r}}

が成立する。特に $x 1 = x 2 = \dots = x r = 1$ と置くことにより

r^{n}=\sum _{k_{1}+\dotsb +k_{r}=n}{n \choose k_{1},\dotsc ,k_{r}}

が直ちに得られる。

多項分布

多項係数の応用として、多項分布

P(X_{1}=k_{1},X_{2}=k_{2},\dotsc ,X_{r}=k_{r})\;=\;{n \choose k_{1},\dotsc ,k_{r}}\cdot p_{1}^{k_{1}}\cdot p_{2}^{k_{2}}\dotsm p_{r}^{k_{r}}

は離散確率変数に関する確率分布である。

組合せ論的解釈

組み分け問題

多項係数 $(n k 1, k 2,\dots, k r)$ は $n$ 個の対象を $r$ 個の区別のつく箱に分けて入れるとき、各 $i$ 番目の箱にちょうど $k i$ 個の対象が含まれるように入れる方法の総数である。

重複置換の問題

多項係数 $(n k 1, k 2,\dots, k r)$ は、 $1 \leq i \leq r$ に対して各々ちょうど $k i$ 個の区別不能な対象が含まれる $n$ 個の対象の置換の総数にも等しい。

例: 問い. MISSISSIPPI の文字を並べ替えて得られる「語」は相異なるものが全部でいくつあるか？

この11文字の並べ替えの総数を数える必要があるが、一種類目の文字 M が $1$ 個 ( $k 1 = 1$ ), 二種類目の文字 I が $4$ 個 ( $k 2 = 4$ ), 三種類目の文字 S が $4$ 個 ( $k 3 = 4$ ), 残りは P が $2$ 個 ( $k 4 = 2$ ) であるから、多項係数

{\binom {11}{1,4,4,2}}={\frac {11!}{1!\cdot 4!\cdot 4!\cdot 2!}}=34650

が答えを与える。これと対照的に、もし11文字全てが区別可能であったならば、その総数は $11! = 39,916,800$ とずっと多くなる。

パスカルの単体

二項係数に対するパスカルの三角形の類似対応物として、 $r$ -変数の多項係数にも幾何学的な図形（単体）が対応し、パスカルの $r$ -単体と呼ばれる。 $r = 3$ のときは特に、三項係数（ドイツ語版）に対するパスカルの三角錐（英語版）と呼ばれる。

外部リンク

Weisstein, Eric W. "Multinominal Coefficient". mathworld.wolfram.com (英語).