反復法 (数値計算)

数値計算分野における反復法(はんぷくほう、英: iterative method)とは、初期値${\mathbf {X}}_{0}\in {\mathbf {R}}^{n}$を定め、

1. 漸化式${\mathbf {X}}_{n}=f_{n}({\mathbf {X}}_{n-1})$により逐次${\mathbf {X}}_{1},{\mathbf {X}}_{2},\dots ,{\mathbf {X}}_{n}$を求め
2. 適当な判断基準$r({\mathbf {X}}_{n-1},{\mathbf {X}}_{n})\leq \epsilon (\epsilon >0)$ならば停止

で得られた${\mathbf {X}}_{n}$を求める解とする手法。数値計算に関するニュートン法、固有値問題に対する冪乗法もこの反復法の１つである。

アルゴリズムが単純であるために古くから用いられ、様々な関数族$\{f({\mathbf {X}})\}$が提案されてきている。

十分に滑らかな関数$g(x)\in {\mathbf {R}}^{1}$の零点を求めるために関数族を恒等的に

$f(x)=x-{\frac {g(x)}{g'(x)}}$

ととればニュートン法（収束する場合は2次の収束）となり

$f(x)=x-{\frac {g(x)}{g'(x)-{\frac {g''(x)g(x)}{2g'(x)}}}}$

ととればハレー法（収束する場合は3次の収束）となる。