二項式

二項式（にこうしき、binomial）は、代数学において、2つの項からなる多項式、言い換えれば2つの単項式の和で表される式である。数式中では、しばしば括弧で括られて用いられる。単項式に次ぐ、最もシンプルな多項式である。

簡単な二項式の運用

• 二項式 $a^{2}-b^{2}$ は、他の2つの二項式を用いて因数分解することができる。

$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b).$

この公式は次に示すより一般化された公式の特別な場合である。

$a^{n+1}-b^{n+1}=(a-b)\sum _{k=0}^{n}a^{k}\,b^{n-k}$.

• 1組の一次の二項式$(ax+b)$ と $(cx+d)$ を掛け算すると次のような公式が得られる。

$(ax+b)(cx+d)=acx^{2}+adx+bcx+bd.$

• 二項式のn乗は $(a+b)^{n}$ で表され、二項定理によって拡張することができ、またパスカルの三角形を利用することが可能である。単純化例を示せば、完全平方（perfect square）の二項式 $(p+q)^{2}$ は初項 p を二乗し、初項 p と第二項 q を掛け合わせて2倍し、第二項 q を二乗したものの和である。数式で表せば以下のようになる。

$(p+q)^{2}=p^{2}+2pq+q^{2}$.

• 単純であるが興味深い公式に "(m,n)公式" と呼ばれるものがある。これはピタゴラス数を算出するもので、 m < n のとき、

$a=n^{2}-m^{2}$, $b=2mn$, $c=n^{2}+m^{2}$

を与え、a,b,cは

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

の関係が成り立つ。

関連項目

• 二項定理
• 完全平方
• 二項分布
• 二項係数
• en:Binomial-QMF
• 数学に関する記事
• 二項級数

参考文献

• L. Bostock, and S. Chandler (1978). Pure Mathematics 1. ISBN 0 85950 0926. pp. 36.