ヒルベルト・サミュエル関数

可換環論において可換ネーター局所環 A 上有限生成な 0 でない加群 M と A の準素イデアル I のヒルベルト・サミュエル関数 (Hilbert–Samuel function) は、David Hilbert と Pierre Samuel にちなんで名づけられているが、写像 $\chi _{M}^{I}\colon \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ であってすべての $n\in \mathbb {N}$ に対して

$\chi _{M}^{I}(n)=\ell (M/I^{n}M)$

であるようなものである、ただし $\ell$ は A 上の長さを表す。それは伴う次数加群 $\operatorname {gr} _{I}(M)$ のヒルベルト関数と恒等式

$\chi _{M}^{I}(n)=\sum _{i=0}^{n}H(\operatorname {gr} _{I}(M),i),$

によって関連付けられる。十分大きい $n$ に対して、それは次数が $\dim(\operatorname {gr} _{I}(M))$ に等しい多項式関数と一致する。

例

二変数の形式的冪級数の環 $k[[x,y]]$ を自身の上の加群と考え順序によって次数付け、イデアルを単項式 x² と y³ によって生成されたものとすると、

$\chi (1)=1,\quad \chi (2)=3,\quad \chi (3)=5,\quad \chi (4)=6{\text{ and }}\chi (k)=6{\text{ for }}k>4.$

次数の制限

ヒルベルト関数とは違って、ヒルベルト・サミュエル関数は完全列に対して加法的でない。しかしながら、アルティン・リースの補題の結果として、それはなお加法的であることにある程度近い。$P_{I,M}$ でヒルベルト・サミュエル多項式を表記する。すなわち、それは十分大きい整数に対してヒルベルト・サミュエル関数と一致する。

$(R,m)$ をネーター局所環とし、I を m-準素イデアルとする。

$0\to M'\to M\to M''\to 0$

が有限生成 R-加群の完全列で、$M/IM$ の長さが有限であれば、

$P_{I,M}=P_{I,M'}+P_{I,M''}-F$

ただし F は次数が $P_{I,M'}$ の次数よりも真に小さい多項式で、正の leading coefficient をもつ。とくに、$M'\simeq M$ であれば、 $P_{I,M''}$ の次数は $P_{I,M}=P_{I,M'}$ の次数よりも真に小さい。

証明： 与えられた完全列を $R/I^{n}$ でテンソルして核を計算すると、完全列

$0\to (I^{n}M\cap M')/I^{n}M'\to M'/I^{n}M'\to M/I^{n}M\to M''/I^{n}M''\to 0$

を得、これから

$\chi _{M}^{I}(n-1)=\chi _{M'}^{I}(n-1)+\chi _{M''}^{I}(n-1)-\ell ((I^{n}M\cap M')/I^{n}M')$.

右辺第三項はアルティン・リースによって評価できる。実際、補題によって、大きい n とある k に対して、

$I^{n}M\cap M'=I^{n-k}((I^{k}M)\cap M')\subset I^{n-k}M'.$

したがって、

$\ell ((I^{n}M\cap M')/I^{n}M')\leq \chi _{M'}^{I}(n-1)-\chi _{M'}^{I}(n-k-1)$.

これは望んだ次数の制限を与える。

関連項目

• en:j-multiplicity