サイトスワップ

サイトスワップ（Site swap）とは、トスジャグリングのパターンを表すための非負整数列による表記法（ジャグリングノーテーション）、またはその表記法に従って表記された数列を指すこともある。 1980年代に3人の研究者によって独立に定式化された^[1]。その記法を直感的に説明するならば、それぞれの数値は道具を投げる高さ（厳密には投げてからキャッチするまでの時間間隔）を表していると説明できる。それ以外の情報を持たないため、シンプルで扱いやすい反面、特殊な投げ方をするパターンを定義することはできない。数列であるので、数学的な処理でジャグリング可能性の判定や新しいパターンを作り出すことなどができる。

また、2個以上のディアボロで行うハイトスやウィンドミルのパターンや、2人以上で道具を投げ合うパッシングの記述にも使われる。また、厳密にはサイトスワップを適用できない道具（シガーボックスなど）でも、投げ方のアナロジーで使われることがある。

バニラサイトスワップ

最も単純なバニラサイトスワップと呼ばれるサイトスワップは、3や7531といった有限長の整数列として表される。バニラサイトスワップでは以下のような前提を置いている。

道具の状態や種類、身体の状態などを全て無視する^{[注 1]}。
片手で同時に複数の物体を投げたりキャッチしたりすることはできない。
両手で交互に、一定の時間間隔で道具を投げる^{[注 2]}。
数値は、その道具が投げられてからキャッチされるまでの時間間隔を表す。

例えば、右のアニメーションは3ボールカスケードであるが、全てのボールは3つおきに投げられている。そのためサイトスワップは3と表される。両手で交互に投げるという前提があるため、奇数では投げた手と逆の手でキャッチし、偶数では逆に投げた手自身で受け取ることとなる。このとき3つの特殊な投げ方が定義されている: 0はその瞬間手に何も持っていない状態を、1は逆の手に手渡すもしくは直線的に投げて渡す事を、2はその時間に物体を投げずに持ち続けることをそれぞれ意味する。また、9より大きい数値を書く必要があるときにはアルファベットを使って、10をa、11をb、…と表すのが一般的。

それぞれのパターンは、いくらかの拍ごとに繰り返される。この繰り返される拍の最短の長さをサイトスワップの周期と呼び、通常最短周期だけを書く。先に例に挙げた3ボールカスケードの周期は1である。また、このように周期が奇数である場合、両手が同じパターンを繰り返すため、奇数周期のサイトスワップを持つパターンのことを対称（symmetrical）であると呼び、シャワー^{[注 3]}のように偶数の周期を持つものを非対称（asymmetrical）なパターンと呼ぶ。

ジャグリング可能性

周期n+1を持つあるサイトスワップ数列 ${\begin{Bmatrix}a_{n}\end{Bmatrix}}=a_{0}a_{1}\cdots a_{n}$ がジャグリング可能(jugglable)であるとは、
どのような相異なる $0\leq i,j\leq n$ に対しても $(a_{i}+i)\not \equiv (a_{j}+j){\pmod {n+1}}$ であることである。

これは直観的には「どの拍の瞬間にも、1つの手に同時に2つ以上のボールが落ちてくることはない」ということを定式化したものだと言える。つまりは、あるサイトスワップの周期がn+1だとすると、投げられる拍の順番と滞空時間の拍の和を周期で割った数値が、そのボールがn+1周期の中で何番目に落ちてくるかを表しており、これが全て異なるならば、同時に落ちてくることはないといえるからである。

このジャグリング可能性の定義から、直ちにジャグリング可能なサイトスワップのサイクリックシフト(cyclic shift)^{[注 4]}はジャグリング可能であるということが分かる。しかし通常特に理由のない限り、最大の数字を最初に書くことが普通である。

また、このときサイトスワップ数列の平均値は投げる物体の個数になる。例えば531は3個、91は5個である。

状態

3ボールカスケード"3"からすぐに441というパターンを投げることはできるが、3ボールシャワー51を投げることはできない。これを説明するのが、サイトスワップの状態(state)という概念である。

シンクロナス・サイトスワップ

両手で同時に投げるシンクロパターンを表す時は左右それぞれの数値を( )でくくり,で区切る。また、シンクロパターンの数値は偶数に限られ、クロススローは数値の後にxを付加する事で表記する。左右対称なパターンを繰り返す場合、その片側を*で代用することもある。例えば、(6x, 4)(4, 6x)を(6x, 4)*と記述することができる。

マルチプレクシング・サイトスワップ

片手で複数同時に投げるマルチスローを表す時は、同時に投げる物体の数値を[ ]でくくり表記する。例えば、[97]121は片手から2つのボールを同時に投げる5ボールマルチシャワーである。

マルチハンドサイトスワップ

通常のサイトスワップは腕を2本持つ、多く一般の人のために作られているが、他の数の腕を持つ場合のサイトスワップを考えることもできる。1本の腕の場合はディアボロのハイトスのパターンを、4本の腕の場合は2人が道具を投げ合うパッシングのパターンを表すために使われる。

特徴

物体を上に投げる場合、投げ上げる高さは数値から1を引いて2乗した値に比例する。
　例えば7531の場合、それぞれの高さの比は9:4:1:0となる。

　（7531から1を引いて6420、2乗して36、16、4、0となるが、通分（÷4）して9410となる）
ある値にサイトスワップの長さと等しい値を足すと、投げる個数が1つ多いパターンに出来る。
　例えば、4つのパターンである7531の1に数列の長さの4を足した7535は5つのパターンであるし、7531の5から4を引いた7131は3つのパターンである。
n個離れた数値を入れ替えてから、左の方にnを足し、右の方からnを引いても、そのパターンはジャグリング可能。
例えば、7531の5と3を入れ替え7351とし、3に1を足し5から1を引いた数列である7441はジャグリング可能である。

注釈

^ 例えば、ボールを使うかクラブを使うか、あるいはクラブの回転数といった情報や、ボディースローといった情報はサイトスワップでは表現されない。
^ この時間間隔を拍(beat)と呼ぶ。
^ 日本の伝統のお手玉のように、道具が片手からのみ投げられるジャグリングパターン。
^ 531に対する315,135など

参考文献

^ “The Mathematics of Juggling”. 2009年12月18日閲覧。