ノート:十七角形

2010

できれば、作図の個々の手続きが、何をしているか、という説明をしてほしいです。--Ｋｓ 2010年2月10日 (水) 14:54 (UTC)

• 英語版から、もうちょっと作りこまれたアニメーション移入してきました。どんなアタマしてたらこんなこと発見できるんだ（´Д｀）--大和屋敷 2010年3月30日 (火) 02:49 (UTC)

疑問

12手順目の円弧ですが、大きさの基準はどこで取るのでしょうか。

きちんと検証はしていませんが、外接円の半径の半分でしょうか。その下のアニメーションの方では、コンパスの幅を変えるときにはそういう動きが示されますから、それがないということは、その直前に取った幅のままということと思われます。--白駒（会話） 2012年11月9日 (金) 09:47 (UTC)

質問した者です。よく見たら、角度を割り出すためだけに円弧を描いてるみたいですね。ということは、半径は何でも良いということになりますね。お騒がせしました。

失礼しました。その通りですね。少し調べて、作図の手順を文章で説明してみました。これで、遅まきながらＫｓさんのご要望にも答えられたのではないかと思います。しかし、人間がこの通りに作図しても、なかなか正十七角形になりませんな。 --白駒（会話） 2012年11月19日 (月) 11:43 (UTC)

この手順によってちゃんと正十七角形が作図できることの証明がないのは気持ち悪いと思って書いてみたのですが、どうも冗長になってしまいました。そのまま本文に反映するにはちょっとお粗末な感じがしますので、とりあえずここにおいておきます。改良できそうなら本文に反映していただけるとありがたいです。

簡単のため円の半径を1とする。$OG=\cos {\frac {1080^{\circ }}{17}}$を示せばよい。

∠OCD = θ とし、$t_{1}=\tan \theta$とおく。$\tan 4\theta =4$なので、tanの倍角公式より$\tan 2\theta ={\frac {{\sqrt {17}}-1}{4}}$であり、tanの倍角公式をもう一度用いることで、$t_{1}$は方程式

$2x^{2}+({\sqrt {17}}+1)x-2=0$　・・・①

の解であることがわかる。

また、$\angle OCE=45^{\circ }-\theta ={\frac {1}{2}}(90^{\circ }-2\theta )$であり、$\tan(90^{\circ }-2\theta )={\frac {1}{\tan 2\theta }}={\frac {{\sqrt {17}}+1}{4}}$なので、同様にtanの倍角公式を用いると$t_{2}=\tan(45^{\circ }-\theta )$は方程式

$2x^{2}+({\sqrt {17}}-1)x-2=0$　・・・②

の解であることがわかる。

$OD={\frac {t_{1}}{4}}$である。また、$OE={\frac {t_{2}}{4}}$なので、$OF={\sqrt {\left({\frac {1+OE}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {1-OE}{2}}\right)^{2}}}={\sqrt {OE}}={\frac {\sqrt {t_{2}}}{2}}$であり、よって$DF={\sqrt {OD^{2}+OF^{2}}}={\frac {\sqrt {t_{1}^{2}+4t_{2}}}{4}}$なので、結局

$OG=OD+DF={\frac {t_{1}+{\sqrt {t_{1}^{2}+4t_{2}}}}{4}}$　・・・③

である。

さて、ここで$c_{n}=\cos {\frac {360^{\circ }\times n}{17}}$とする。

• $c_{0}=1$
• $c_{17-n}=c_{n}$
• $\sum _{n=0}^{16}c_{n}=0$

なので、$\sum _{n=0}^{8}c_{n}=-{\frac {1}{2}}$である。また、上記の式と積和の公式より、

$(c_{1}+c_{2}+c_{4}+c_{8})(c_{3}+c_{5}+c_{6}+c_{7})=-1$

であることもわかる。よって、解と係数の関係より2数$c_{1}+c_{2}+c_{4}+c_{8},c_{3}+c_{5}+c_{6}+c_{7}$は方程式

$2x^{2}+x-2=0$

の解であり、$c_{1}+c_{2}+c_{4}+c_{8}={\frac {-1+{\sqrt {17}}}{4}},c_{3}+c_{5}+c_{6}+c_{7}={\frac {-1-{\sqrt {17}}}{4}}$である。

また、$(c_{1}+c_{4})(c_{2}+c_{8})=-{\frac {1}{2}}$なので、このことと上の結果を合わせて2数$c_{1}+c_{4},c_{2}+c_{8}$は方程式

$8x^{2}-2({\sqrt {17}}-1)x-2=0$　・・・④

の解である。符号に注意して、同様に、$(c_{3}+c_{5})(c_{6}+c_{7})=-{\frac {1}{2}}$なので、このことと上の結果を合わせて2数$c_{3}+c_{5},c_{6}+c_{7}$は方程式

$8x^{2}+2({\sqrt {17}}+1)x-2=0$　・・・⑤

の解である。

式①と⑤を見比べると、①のxを2xに変えたものが⑤なので、符号に注意すると$t_{1}=2(c_{3}+c_{5})$である。また同様に②と④を見比べると、②のxを-2xに変えたものが④なので、$t_{2}=-2(c_{2}+c_{8})$である。つまり、$c_{3}+c_{5}={\frac {t_{1}}{2}}$であり、また$c_{3}c_{5}={\frac {c_{2}+c_{8}}{2}}=-{\frac {t_{2}}{4}}$なので、解と係数の関係より$c_{3},c_{5}$は方程式

$4x^{2}-2t_{1}x-t_{2}=0$

の解であり、符号に注意すると$c_{3}={\frac {t_{1}+{\sqrt {t_{1}^{2}+4t_{2}}}}{4}}$である。③と見比べて

$OG=c_{3}$

を得る。--211.1.206.202 2012年11月23日 (金) 13:55 (UTC)

第八貴金属数$4+{\sqrt {17}}$と十七角形

正十七角形は、第八貴金属比である4+√17を利用して作図できると思いますが…--beautiful icosagon（会話） 2018年8月2日 (木) 16:52 (UTC)