積率母関数

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確率論統計学において、確率変数 X積率母関数またはモーメント母関数: moment-generating function)は、期待値が存在するならば次の式で定義される。

 M_X(t) := E\left(e^{tX}\right), \quad t \in \mathbb{R}

積率母関数がそのように呼ばれるのは、t = 0 の周囲の開区間上でそれが存在する場合、それが確率分布モーメント母関数であるからである。

E \left( X^n \right) = M_X^{(n)}(0) = \frac{d^n M_X}{dt^n}(0)

積率母関数がそのような区間について定義される場合、それにより確率分布が一意に決定される。

積率母関数で重要なことは、積分が収束しない場合、積率(モーメント)と積率母関数が存在しない可能性がある点である。これとは対照的に特性関数は常に存在するため、そちらを代わりに使うこともある。

より一般化すると、n-次元の確率変数ベクトル(ベクトル値確率変数) \mathbf X = ( X_1, \ldots, X_n) の場合、tX の代わりに \mathbf t \cdot \mathbf X = \mathbf t^\mathrm T\mathbf X を使い、次のように定義する。

 M_{\mathbf X}(\mathbf t) := E\left(e^{\mathbf t^\mathrm T\mathbf X}\right)

計算[編集]

積率母関数はリーマン=スティルチェス積分で次のように与えられる。

M_X(t) = \int_{-\infty}^\infty e^{tx}\,dF(x)

ここで F累積分布関数である。

X が連続な確率密度関数 f(X) を持つ場合、M_X(-t)f(x) の両側ラプラス変換である。

M_X(t) = \int_{-\infty}^\infty e^{tx} f(x)\,\mathrm{d}x
 = \int_{-\infty}^\infty \left( 1+ tx + \frac{t^2x^2}{2!} + \cdots\right) f(x)\,\mathrm{d}x
 = 1 + tm_1 + \frac{t^2m_2}{2!} +\cdots,

ここで、m_ii番目のモーメントである。

独立確率変数の総和[編集]

X1, X2, ..., Xn が一連の独立確率変数で(分布が同一である必要は無い)、

S_n = \sum_{i=1}^n a_i X_i,

としたとき(ai は定数)、Sn の確率密度関数はそれぞれの Xi の確率密度関数の畳み込みとなり、Sn の積率母関数は次のようになる。


M_{S_n}(t)=M_{X_1}(a_1t)M_{X_2}(a_2t)\cdots M_{X_n}(a_nt).

他の関数との関係[編集]

積率母関数に関連して、確率論にはいくつかの変換が存在する。

特性関数
特性関数 \varphi_X(t) と積率母関数は \varphi_X(t) = M_{iX}(t) = M_X(it) という関係にある。すなわち、特性関数は iX の積率母関数であり、X の積率母関数を虚数軸で評価したものである。
キュムラント母関数
キュムラント母関数は積率母関数の対数として定義される。特性関数の対数をキュムラント母関数とする場合もあるが、通常そちらは「第2」キュムラント母関数と呼ぶ。
確率母関数
確率母関数は G(z) = E[z^X]\, で定義される。したがって、G(e^t)  = E[e^{tX}] = M_X(t)\, である。