積率母関数

確率論や統計学において、確率変数 X の積率母関数またはモーメント母関数（英: moment-generating function）は、期待値が存在するならば次の式で表される。

$M_X(t) := E\left(e^{tX}\right), \quad t \in \mathbb{R}$

積率母関数がそのように呼ばれるのは、t = 0 の周囲の開区間上でそれが存在する場合、それが確率分布のモーメントの母関数であるからである。

$E \left( X^n \right) = M_X^{(n)}(0) = \frac{d^n M_X}{dt^n}(0)$

積率母関数がそのような区間について定義される場合、それにより確率分布が一意に決定される。

積率母関数で重要なことは、積分が収束しない場合、積率（モーメント）と積率母関数が存在しない可能性がある点である。これとは対照的に特性関数は常に存在するため、そちらを代わりに使うこともある。

より一般化すると、n-次元の確率ベクトル $\mathbf X = ( X_1, \ldots, X_n)$ の場合、$tX$ の代わりに $\mathbf t \cdot \mathbf X = \mathbf t^\mathrm T\mathbf X$ を使い、次のように表す。

$M_{\mathbf X}(\mathbf t) := E\left(e^{\mathbf t^\mathrm T\mathbf X}\right)$

計算

積率母関数はリーマン＝スティルチェス積分で次のように与えられる。

$M_X(t) = \int_{-\infty}^\infty e^{tx}\,dF(x)$

ここで F は累積分布関数である。

X が連続な確率密度関数 f(X) を持つ場合、$M_X(-t)$ は f(x) の両側ラプラス変換である。

$M_X(t) = \int_{-\infty}^\infty e^{tx} f(x)\,\mathrm{d}x$

$= \int_{-\infty}^\infty \left( 1+ tx + \frac{t^2x^2}{2!} + \cdots\right) f(x)\,\mathrm{d}x$

$= 1 + tm_1 + \frac{t^2m_2}{2!} +\cdots,$

ここで、$m_i$ は i番目のモーメントである。

独立確率変数の総和

X₁, X₂, ..., X_n が一連の独立確率変数で（分布が同一である必要は無い）、

$S_n = \sum_{i=1}^n a_i X_i,$

としたとき（a_i は定数）、S_n の確率密度関数はそれぞれの X_i の確率密度関数の畳み込みとなり、S_n の積率母関数は次のようになる。

$M_{S_n}(t)=M_{X_1}(a_1t)M_{X_2}(a_2t)\cdots M_{X_n}(a_nt).$

ベクトル値確率変数

ベクトル値確率変数 X の実数成分について、積率母関数は次のようになる。

$M_X(t) = E\left( e^{\langle t, X \rangle}\right)$

ここで t はベクトルであり、$\langle \cdot, \cdot \rangle$ はドット積である。

他の関数との関係

積率母関数に関連して、確率論にはいくつかの変換が存在する。

特性関数

特性関数 $\varphi_X(t)$ と積率母関数は $\varphi_X(t) = M_{iX}(t) = M_X(it)$ という関係にある。すなわち、特性関数は iX の積率母関数であり、X の積率母関数を虚数軸で評価したものである。

キュムラント母関数

キュムラント母関数は積率母関数の対数として定義される。特性関数の対数をキュムラント母関数とする場合もあるが、通常そちらは「第2」キュムラント母関数と呼ぶ。

確率母関数

確率母関数は $G(z) = E[z^X]\,$ で定義される。したがって、$G(e^t) = E[e^{tX}] = M_X(t)\,$ である。