ヴァン・ラモン円

ヴァン・ラモン円、6つの円の中心$A_{b}$, $A_{c}$, $B_{c}$, $B_{a}$, $C_{a}$, $C_{b}$を通る。

ユークリッド幾何学において、ヴァン・ラモン円（ヴァン・ラモンえん、英:van Lamoen circle）またはヴァン・ラモーエン円、ヴァン・ラムーン円は、三角形に対して定義される円の一つである。

$A$, $B$, $C$ を三角形の頂点、$M_{a}$,$M_{b}$,$M_{c}$を$BC$,$CA$,$AB$の中点、$G$を重心とする。

6つの円$AGM_{c}$, $BGM_{c}$, $BGM_{a}$, $CGM_{a}$, $CGM_{b}$, $AGM_{b}$の中心は同一円周上にある。この円を三角形のヴァン・ラモン円と言う。

歴史

ヴァン・ラモン円の名称は2000年にヴァン・ラモン円に関する問題を提起した フロアー・ヴァン・ラモン に由来する。2001年と2002年にそれぞれ、 Kin Y. Liとthe Amer. Math. Monthlyの編集者が、独自に証明した。

性質

ヴァン・ラモン円の中心はクラーク・キンバリングの「Encyclopedia of Triangle Centers」内で、 $X(1153)$ として登録されており、三線座標は以下の式で与えられる。

$f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b)$

ただし

$f(a,b,c)=bc(13a^{2}(b^{2}+c^{2})+10b^{2}c^{2}-10a^{4}-4b^{4}-4c^{4})$

2003年、Alexey Myakishev とPeter Y. Wooは以下の定理を発表した。

$P$が垂心か重心であることと、$P$のチェバ線を$AA'$, $BB'$, $CC'$ として6つの円$APB'$, $APC'$, $BPC'$, $BPA'$, $CPA'$, $CPB'$の中心が同一円周上にあることは同値である。

2005年、Nguyen Minh Haはこの定理のより単純な証明を与えた。

関連

• パリー円
• レスター円