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確率論において、 連続確率分布 のミルズ比 (ミル比) は関数
であらわされる。このとき、 はXの確率密度変数であり、
は生存関数(相補累積分布関数)である。 この概念は John P. Millsにちなんで名づけられている。[1] ミルズ比はハザード率 h(x)に関連し、
のときのミルズ比は
となる。
例
が 標準正規分布であるとき、 ミルズ比は次のように表される。
このとき、記号 は2つの関数の商が のときに1に収束することを示している。(詳細はQ-functionを参照)より正確な漸近線を与えることができる。
逆ミルズ比
逆ミルズ比 は、ある分布の 相補累積分布関数 の確率密度関数の 比 である。逆ミルズ比は、下記のようなデータが切断された正規分布に用いられる。 X が平均値 μ 分散 σ2 の正規分布の確率変数 のとき、
このとき、 は母数, 標準正規分布の確率密度関数、 標準正規分布の累積分布関数を示す。この二つの要素が、逆ミルズ比である。[2]
回帰分析での使用
一般的な逆ミルズ比の適用例は、回帰分析でのセレクションバイアスの影響を補正する際に用いる。従属変数が打ち切られている(すなわちすべての変数が観測されたものではない)とき、ゼロとして観測された変数が多く存在する。この問題は、Tobin (1958)によってはじめて指摘された。彼は、回帰分析での推定の際に打ち切りの影響を考慮しない場合、通常の最小二乗法による推定では偏ったパラメータ推定値が得られることを指摘している[3]。これは、打ち切られた従属変数を用いることで、独立変数と誤差項の間の相関がゼロであるというガウス=マルコフの定理の仮定に反することからわかる。 [4]
James Heckman はセレクションバイアスを補正するために、逆ミルズ比を用いた2段階推定法を提案した。[5][6] 第一に、従属変数をプロビットモデルを用いた回帰分析を行う。逆ミルズ比は、ロジットモデルでは用いることができず、プロビットモデルから推定する必要がある。このプロビットモデルは、誤差項が標準正規分布に従うと仮定している。[5] 第二に、プロビットモデルを用いて推定されたパラメータを用いて逆ミルズ比を計算し、この結果を最小二乗法を用いた回帰分析の説明変数に用いる。[7]
関連項目
参考文献
- ^ Mills, John P. (1926). “Table of the Ratio: Area to Bounding Ordinate, for Any Portion of Normal Curve”. Biometrika 18 (3/4): 395–400. doi:10.1093/biomet/18.3-4.395. JSTOR 2331957.
- ^ Greene, W. H. (2003). Econometric Analysis (Fifth ed.). Prentice-Hall. p. 759. ISBN 0-13-066189-9
- ^ Tobin, J. (1958). “Estimation of relationships for limited dependent variables”. Econometrica 26 (1): 24–36. doi:10.2307/1907382. JSTOR 1907382 .
- ^ Amemiya, Takeshi (1985). Advanced Econometrics. Cambridge: Harvard University Press. pp. 366–368. ISBN 0-674-00560-0
- ^ a b Heckman, J. J. (1979). “Sample Selection as a Specification Error”. Econometrica 47 (1): 153–161. doi:10.2307/1912352. JSTOR 1912352.
- ^ Amemiya, Takeshi (1985). Advanced Econometrics. Cambridge: Harvard University Press. pp. 368–373. ISBN 0-674-00560-0
- ^ Heckman, J. J. (1976). “The common structure of statistical models of truncation, sample selection and limited dependent variables and a simple estimator for such models”. Annals of Economic and Social Measurement 5 (4): 475–492.
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