「アーベル総和法」の版間の差分

履歴の双方向閲覧

新しい編集 →

削除された内容追加された内容

ビジュアルウィキテキスト

インライン

2016年7月30日 (土) 15:48時点における版

解析学において、アーベル総和法（アーベルそうわほう、英: Abel's summability method）とは、級数に対し、有限値を対応させる総和法の一つ^[1]^[2]。ベキ級数におけるアーベルの定理に因む。

導入

複素数値の数列 ${a n$ }に対し、級数 $\sum \infty n =0 a n$ が値 $l$ に収束するとは、部分和

s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}

が通常の数列の収束の意味で値 $l$ に収束することで定義される。一方、総和法では、通常の収束の意味を超えて、より広い形での級数の収束を定義する。

例えば、 $a n = (-1) n$ とするグランディ級数 $\sum \infty n =0 (-1) n$ は

s_{0}=1,\,s_{1}=0,\,s_{2}=1,\,s_{3}=0,\cdots

となり、通常の意味では収束しない。ここで、 $x$ を $| x | < 1$ を満たす複素数とし、 $x n$ を各項 $a n$ に収束因子として乗ずると、ベキ級数

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}x^{n}=1-x+x^{2}+\cdots

は、 $| x | < 1$ で

f(x)={\frac {1}{1+x}}

に一様収束する。このとき、右極限 $x \to 1 -$ は収束し、

\lim _{x\to 1-}{f(x)}={\frac {1}{2}}

となり、級数 $\sum \infty n =0 (-1) n$ に値1/2を対応させることができる。

定義

複素数値の数列 ${a n$ }に対し、ベキ級数

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}

が $| x | < 1$ で収束し、右極限が

\lim _{x\to 1-}{f(x)}=l

と有限値 $l$ になるとき、値 $l$ にアーベル総和可能（Abel summable）といい、

\operatorname {A-} \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=l

もしくは

\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=l\quad \operatorname {(A)}

と記す。また、このように ${a n$ }の級数を $f' (x)$ の右極限 $x \to 1 -$ で定義する総和法をアーベル総和法と呼ぶ。

なお、 $f' (x)$ は部分和

s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}

によって、

f(x)=(1-x)\sum _{n=0}^{\infty }s_{n}x^{n}

とも表すことができる。したがって、 $f' (x)$ は部分和の列 ${s n$ }に

\sum _{n=0}^{\infty }(1-x)x^{n}=(1-x){\frac {1}{1-x}}=1

を満たす因子 $(1- x) x n$ を乗じて、和を取っていることになる。

タウバー型定理

詳細は「タウバー型定理」を参照

一般に級数はアーベル総和であっても、通常の意味では収束しない。すなわち、ベキ級数におけるアーベルの定理の逆は成り立たない。しかしながら、級数にある種の条件を付与すれば、アーベルの定理の逆が成り立つことがある。そのような例として、1897年にオーストリアの数学者アルフレッド・タウバーが示したタウバーの定理がある^[3]。後に英国の数学者G. H. ハーディとJ. E. リトルウッドはタウバーの定理を原型とする種々の拡張を与え、それらをタウバー型定理と呼んだ。

脚注

^ 石黒（1977）、第2章
^ 江沢（1995）、第4章
^ A. Tauber, "Ein Satz aus der Theorie der unendlichen Reihen" , Monatshefte für Mathematik und Physik, 8 (1897), pp. 273–277. doi:10.1007/BF01696278

参考文献

G. H. Hardy, Divergent Series , Clarendon Press (1949)
石黒一男『発散級数論』森北出版(1977) ISBN 978-4627031494
江沢博『漸近解析（岩波講座　応用数学14）』岩波書店(1995) ISBN 4000105248

@@ 1行目: / 1行目: @@
+[[解析学]]において、'''アーベル総和法'''（アーベルそうわほう、{{lang-en-short|Abel's summability method}}）とは、[[級数]]に対し、有限値を対応させる[[総和法]]の一つ<ref name ="ishiguro1977">石黒（1977）、第2章</ref><ref name ="ezawa1995">江沢（1995）、第4章</ref>。[[ベキ級数]]における[[アーベルの連続性定理|アーベルの定理]]に因む。
-#redirect[[発散級数#アーベル和]]
+== 導入 ==
+複素数値の数列{{math|{''a<sub>n</sub>''}}}に対し、級数{{math|{{Sum|b=''n''{{=}}0|p=&infin;}} ''a<sub>n</sub>''}}が値{{mvar|l}}に収束するとは、部分和
+:<math> s_n=\sum_{k=0}^{n}a_k </math>
+が通常の数列の収束の意味で値{{mvar|l}}に収束することで定義される。一方、総和法では、通常の収束の意味を超えて、より広い形での級数の収束を定義する。
+例えば、{{math|''a<sub>n</sub>'' {{=}} (-1)''<sup>n</sup>''}}とする[[グランディ級数]] {{math|{{Sum|b=''n''{{=}}0|p=&infin;}} (-1)''<sup>n</sup>''}}は
+:<math>s_0=1, \, s_1=0, \,  s_2=1,\,  s_3=0, \cdots  </math>
+となり、通常の意味では収束しない。ここで、{{mvar|x}}を{{math|{{abs|''x''}} < 1}}を満たす複素数とし、{{mvar|x<sup>n</sup>}}を各項{{math|''a<sub>n</sub>'' }}に収束因子として乗ずると、ベキ級数
+:<math> f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n  x^n = 1 -x +x^2 +\cdots </math>
+は、{{math|{{abs|''x''}} < 1}}で
+:<math> f(x)= \frac{1}{1+x} </math>
+に[[一様収束]]する。このとき、[[右極限]]{{math|''x'' &rarr; 1 &minus;}}は収束し、
+:<math> \lim_{x \to 1 -}{f(x)}= \frac{1}{2} </math>
+となり、級数 {{math|{{Sum|b=''n''{{=}}0|p=&infin;}} (-1)''<sup>n</sup>''}}に値1/2を対応させることができる。
+== 定義 ==
+複素数値の数列{{math|{''a<sub>n</sub>''}}}に対し、ベキ級数
+:<math> f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n </math>
+が{{math|{{abs|''x''}} < 1}}で収束し、右極限が
+:<math> \lim_{x \to 1 -}{f(x)}= l </math>
+と有限値{{mvar|l}}になるとき、値{{mvar|l}}に'''アーベル総和可能'''（Abel summable）といい、
+:<math>\operatorname{A-}\sum_{n=0}^{\infty}a_n=l</math>
+もしくは
+:<math>\sum_{n=0}^{\infty} a_n=l \quad \operatorname{(A)}</math>
+と記す。また、このように{{math|{''a<sub>n</sub>''}}}の級数を{{math|''f'''(''x'')}}の右極限{{math|''x'' &rarr; 1 &minus;}}で定義する総和法を'''アーベル総和法'''と呼ぶ。
+なお、{{math|''f'''(''x'')}}は部分和
+:<math> s_n=\sum_{k=0}^{n}a_k </math>
+によって、
+:<math> f(x)=(1-x)\sum_{n=0}^{\infty} s_n x^n </math>
+とも表すことができる。したがって、{{math|''f'''(''x'')}}は部分和の列{{math|{''s<sub>n</sub>''}}}に
+:<math> \sum_{n=0}^{\infty} (1-x) x^n= (1-x) \frac{1}{1-x}=1 </math>
+を満たす因子{{math|(1-''x'')''x<sup>n</sup>''}}を乗じて、和を取っていることになる。
+== タウバー型定理 ==
+{{Main|タウバー型定理}}
+一般に級数はアーベル総和であっても、通常の意味では収束しない。すなわち、ベキ級数における[[アーベルの連続性定理|アーベルの定理]]の逆は成り立たない。しかしながら、級数にある種の条件を付与すれば、アーベルの定理の逆が成り立つことがある。そのような例として、1897年にオーストリアの数学者[[アルフレッド・タウバー]]が示した[[タウバーの定理]]がある<ref name ="tauber1897">A. Tauber, [http://www.literature.at/viewer.alo?viewmode=overview&olfullscreen=true&objid=12409&page=280 "Ein Satz aus der Theorie der unendlichen Reihen" ], ''Monatshefte für Mathematik und Physik'', '''8''' (1897), pp. 273–277. {{doi|10.1007/BF01696278}} </ref>。後に英国の数学者[[ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディ|G. H. ハーディ]]と[[ジョン・エデンサー・リトルウッド|J. E. リトルウッド]]はタウバーの定理を原型とする種々の拡張を与え、それらを[[タウバー型定理]]と呼んだ。
+== 脚注 ==
+{{reflist}}
+== 参考文献 ==
+* G. H. Hardy, [http://www.archive.org/details/divergentseries033523mbp ''Divergent Series ''], Clarendon Press (1949)
+* 石黒一男『発散級数論』森北出版(1977) ISBN 978-4627031494
+* 江沢博『漸近解析（岩波講座　応用数学14）』岩波書店(1995) ISBN 4000105248
+== 関連項目 ==
+* [[アーベルの連続性定理]]
+* [[タウバー型定理]]
+{{DEFAULTSORT:あへるそうわほう}}
+[[Category:級数]]
+[[Category:総和法]]
+[[Category:漸近解析]]
+[[Category:解析学]]