ヴォイタ予想

数学では、ヴォイタ予想(Vojta's conjecture)は、 Vojta (1987)により導入された、有限体上の代数多様体の点の高さについての予想である。予想は、ディオファントス近似と複素解析(complex analysis)のネヴァンリーナ理論(Nevanlinna theory)（値分布論）の間の類似を動機としていた。ヴォイタ予想は、多くのディオファントス近似論やディオファントス方程式、数論幾何、ロジックの予想を含んでいる。

予想の記述

$F$ を数体とし、$X/F$ 非特異代数多様体、$D$ を $X$ 上の悪くとも正規交叉を持つ有効な因子、$H$ を $X$ の上の豊富な因子、$K_{X}$ を $X$ の標準因子とする。$h_{H}$ と $h_{K_{X}}$ をヴェイユの高さ函数を選び、$F$ 上の各々の絶対値 $v$ に対し、局所高さ函数を $\lambda _{D,v}$ とする。$F$ の絶対値 $S$ の有限集合を固定し、$\epsilon >0$ とすると、上記の選択に依存しない定数 $C$ と空でないザリスキー開集合 $U\subseteq X$ が存在し、全ての $P\in U(F)$ に対し、

$\sum _{v\in S}\lambda _{D,v}(P)+h_{K_{X}}(P)\leq \epsilon h_{H}(P)+C$

を満たす。

例

１、 $X=\mathbb {P} ^{N}$ とすると、$K_{X}\sim -(N+1)H$ であるので、ヴォイタ予想からは、すべての$P\in U(F)$ に対し、

$\sum _{v\in S}\lambda _{D,v}(P)\leq (N+1+\epsilon )h_{H}(P)+C$

であることが分かる。

２、 $X$ を、例えば、K3曲面やカラビ・ヤウ多様体のような自明な標準バンドルを持つ多様体とすると、ヴォイタ予想は、$D$ を有効な豊富な正規交叉の因子とすると、アフィン多様体 $X\setminus D$ 上の $S$-整な点は、ザリスキー稠密ではないことを予言する。

３、 $X$ を一般型の多様体、つまり、$K_{X}$ が $X$ のある空ではないゼリスキー開集合上で豊富であるとすると、$S=\emptyset$ に対し、ヴォイタ予想は、$X(F)$ は $X$ 上のザリスキー稠密でないことを予言する。この一般型多様体の命題は、ボンビエリ・ラング予想(Bombieri-Lang conjecture)である。

一般化

$P$ が $X({\overline {F}})$ の上で変化するような一般化が存在し、体の拡大 $F(P)/F$ の判別式とは独立な上限を持つ項が加わる。

非アルキメデス的な局所的高さ $\lambda _{D,v}$ が消去された局所的高さと置き換わる一般化が存在する。この高さでは、多重度を無視することが可能である。これらのヴォイタ予想のバージョンは、abc予想の自然な高次元類似をもたらす。

参考文献

• Vojta, Paul (1987), Diophantine approximations and value distribution theory, Lecture Notes in Mathematics, 1239, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0072989, ISBN 978-3-540-17551-3, MR883451