「トマエ関数」の版間の差分
削除された内容 追加された内容
m編集の要約なし |
ARAKI Satoru (会話 | 投稿記録) 出典の追加・連続点、不連続点・可積分 |
||
| 1行目: | 1行目: | ||
{{出典の明記| date = 2023年9月}} |
|||
[[File:Thomae function (0,1).svg|200px|right|thumb|区間(0,1)においてトマエ関数をプロットしたもの]] |
[[File:Thomae function (0,1).svg|200px|right|thumb|区間(0,1)においてトマエ関数をプロットしたもの]] |
||
'''トマエ関数'''とは、{{ill|カール・ヨハネス・トメ|en|Carl Johannes Thomae}} にちなんで名づけられた関数であり、'''ポップコーン関数'''、'''雨滴関数'''などの多くの別名を持ち、次のように定義される。 |
'''トマエ関数'''とは、{{ill|カール・ヨハネス・トメ|en|Carl Johannes Thomae}} にちなんで名づけられた関数であり、'''ポップコーン関数'''、'''雨滴関数'''などの多くの別名を持ち、次のように定義される。 |
||
| 5行目: | 4行目: | ||
:<math>f(x) = |
:<math>f(x) = |
||
\begin{cases} |
\begin{cases} |
||
1/q &(x = p/q,\ x \in \Q \setminus \{0\},\ p \in \mathbb Z,\ q \in \mathbb N,\ \gcd(p, q) = 1),\\ |
|||
1 |
1 &(x = 0),\\ |
||
0 |
0 &(x \in \R \setminus \Q). |
||
\end{cases} |
\end{cases} |
||
</math> |
</math> |
||
この関数は各有理点において[[不連続]]である一方で、各無理点において[[連続]]である。このように不連続点が[[稠密集合|稠密]]で無限個あるにも関わらず（定義式の似ている[[ディリクレの関数]]とは異なり）、この関数は区間 {{math|[0, 1]}} 上で[[リーマン積分]]可能であることが示せる（<math> \textstyle \int_0^1 f(x) \, dx = 0 </math>）。 |
|||
この関数は[[ディリクレの関数]]を修正したものである。 |
|||
== 参考文献 == |
|||
* {{cite book |
|||
|last = Abbot |
|||
|first = S. |
|||
|title = Understanding Analysis |
|||
|edition = Second |
|||
|year = 2015 |
|||
|publisher = Springer |
|||
|isbn = 978-1-4939-2711-1 |
|||
|ref = harv |
|||
}} |
|||
==関連項目== |
==関連項目== |
||
2024年4月26日 (金) 12:45時点における版
.svg)
トマエ関数とは、カール・ヨハネス・トメ にちなんで名づけられた関数であり、ポップコーン関数、雨滴関数などの多くの別名を持ち、次のように定義される。
この関数は各有理点において不連続である一方で、各無理点において連続である。このように不連続点が稠密で無限個あるにも関わらず（定義式の似ているディリクレの関数とは異なり）、この関数は区間 [0, 1] 上でリーマン積分可能であることが示せる（）。
参考文献
- Abbot, S. (2015). Understanding Analysis (Second ed.). Springer. ISBN 978-1-4939-2711-1