計数過程

確率論において，計数過程 (counting process) とは，次の３条件を満たす確率過程 $\{N_{t}\}_{t\geq 0}$ のことである：

1. 非負性：$N_{t}\geq 0$，
2. 整数値：$N_{t}\in \mathbb {Z}$，
3. 広義単調増加：$s\leq t\;\Rightarrow \;N_{s}\leq N_{t}$．

従って $N_{t}-N_{s}\;(s<t)$ は非負整数であり，ある事象が時区間 $(s,t]$ の間に起こった回数を表すと考えることができる．計数過程の例には，Poisson 過程や再生過程がある．

実社会において計数過程とみなせる現象の例として，求職応募の数や，重大事故の発生件数などがある．

さらに Markov 性も満たす場合，Markov 計数過程とも呼ぶ．

数学的定義

多変量計数過程 (multivariate counting process)

$$\mathbf {N} =(N_{1},\cdots ,N_{k})\in \mathbb {Z} ^{k}$$

とは，各成分 $N_{i}\;(i=1,\cdots ,k)$ が次の５条件を満たすものを言う：

1. 適合的な右連続で左極限を持つ過程である．
2. $N_{i}(0)=0$．
3. 区分的に定数で広義単調増加である．
4. ジャンプ幅は必ず $1$ である．
5. どの異なる２成分 $N_{i},N_{j}\;(i\neq j)$ も，同じ時刻にはジャンプしない．

文献

• Ross, S.M. (1995) Stochastic Processes. Wiley. ISBN 978-0-471-12062-9
• Higgins JJ, Keller-McNulty S (1995) Concepts in Probability and Stochastic Modeling. Wadsworth Publishing Company. ISBN 0-534-23136-5ISBN 0-534-23136-5