等長共役
幾何学において、等長共役(とうちょうきょうやく、英:isotomic conjugate)または等距離共役とは△ABCと点Pについて定義される点の一つとの関係である[1][2][3]。
定義[編集]
△ABCと、その辺上にない点Pについて、A', B', C' をそれぞれ、直線AP, BP, CPとBC, CA, ABの交点とする。次にA', B', C'を辺BC, CA, ABの中点で鏡映した点を、それぞれA", B", C"とする。このときAA", BB", CC"を等長共役線(isotomic lines)と言う。3つの等長共役線はチェバの定理より一点で交わる。その点をPの等長共役点または単に等長共役といい、Pとその等長共役点との関係を等長共役と言う。
座標[編集]
Pの三線座標を p : q : rとすると、Pの等長共役点の三線座標は以下の式で与えられる。
ここで a, b, cはそれぞれ、三角形のA, B, Cの対辺の長さである。
Pの重心座標を p : q : rとすると、Pの等長共役点の重心座標は以下の式で与えられる。
性質[編集]
- △ABCの重心の等長共役点は重心自身である。
- 類似重心の等長共役点は第三ブロカール点である。
- ジェルゴンヌ点の等長共役点はナーゲル点である。
- シュタイナー楕円上の点の等長共役は無限遠直線に移る。
- 等角共役点、等長共役点と元の点が共線であるような点の軌跡はシュタイナー-ウォレス双曲線、ウォレス双曲線(Steiner-Wallace hyperbola,Wallace hyperbola)と呼ばれる。ウォレス双曲線はキーペルト双曲線を重心を中心に-2倍拡大した図形で、中心はシュタイナー点である[4][5]。また、重心、内心と傍心を通る。
関連項目[編集]
出典[編集]
- Robert Lachlan, An Elementary Treatise on Modern Pure Geometry, Macmillan and Co., 1893, page 57.
- Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, pp. 157–159, 278
- ^ “Isotomic and isogonal conjugates”. Geogebra. 2024年5月25日閲覧。
- ^ “Where are the Conjugates?”. Forum Geometricorum. 2024年5月25日閲覧。
- ^ K. R. S. Sastry. “Triangles with Special Isotomic Conjugate Pairs”. Forum Geometricorum. 2024年5月25日閲覧。
- ^ “Extended glossary”. faculty.evansville.edu. 2024年5月25日閲覧。
- ^ “table61”. bernard-gibert.fr. 2024年5月25日閲覧。
外部リンク[編集]
- Weisstein, Eric W. "Isotomic Conjugate". mathworld.wolfram.com (英語).
- Pauk Yiu: Isotomic and isogonal conjugates
- Navneel Singhal: Isotomic and isogonal conjugates
- C. Kimberling:Encyclopedia of Triangle Centers