混線内接円[1](こんせんないせつえん、英: mixtilinear incircle)とは、ある三角形の二辺に接し、かつその外接円に内接する円のことである。三角形の頂点 を含む二辺に接する混線内接円は 混線内接円と呼ぶ。すべての三角形は、各頂点に一意に対応する三つの混線内接円を持つ。
一意に存在することの証明[編集]
三角形 の 傍接円は一意に存在する。 を中心とし を半径とする反転と、角 の二等分線に関する鏡映を合成することで定義される変換を とする。反転と鏡映は全単射であり接点が不変に保たれるので、 も同様である。このとき、 による 傍接円の像は、辺 と辺 に内接し、かつ三角形 の外接円に接するので、すなわち 混線内接円である。したがって、 混線内接円は一意に存在し、同様の議論により と に対しても同じことが示される[2]。
混線内接円は次の手順を踏むことにより作図できる[3]。
- 角の二等分線を交わらせることで内心 を描く。
- を通り直線 に垂直な直線を描き、直線 と との交点をそれぞれ点 と とする。これらは混線内接円が接する点になる。
- 点 と からそれぞれ と の垂線を描き、その交点を とする。 を中心とし を半径とする円が混線内接円である。
この作図は次の事実により保証されている。
補題(ニクソンの定理)[編集]
この内心は、混線内接円が二辺と接する点の中点である[4][5]。
を三角形 の外接円とし、 を 混線内接円 と の接点とする。 と異なる点 と を、それぞれ と の、 と の交点とする。 を中心として と のあいだに相似変換を施すことにより、 と がそれぞれ の弧 と の中点であることがわかる。円周角の定理により、 と がそれぞれ共線な点の三つ組であることがわかる。パスカルの定理を に接する六角形 に適用することにより、 が共線であることがわかる。角 と が等しいことから、 が線分 の中点であることが従う[2]。
他の性質[編集]
次の公式は内接円の半径 と三角形 の 混線内接円の半径 を結びつける[6]。
このことから即座に次の式が従う:
ただし は半周長であり、またこの式は点 と円 に対してケイシーの定理を適用することにより得ることもできる[7]。
外接円の点との関係[編集]
- 点 を含む弧 の中点は直線 上にある[8][9]。
- 四角形 は調和四角形である。すなわち、 は三角形 の類似中線である[2]。
外接円との接点に関連する円[編集]
- と は共円四辺形である[8]。
螺旋相似[編集]
- は と をそれぞれ と に写す螺旋相似(英語版)の中心である[2]。
三つの混線内接円のあいだに成り立つ関係[編集]
頂点と接点を結ぶ直線[編集]
各頂点と、それに対応する混線内接円が外接円と接する点を結ぶ三直線は、内接円と外接円の外相似点で交わる。Encyclopedia of Triangle Centersでは X(56) として紹介されている[10]。三線座標では であり、重心座標では である。
この点は、三角形の垂心とフォイエルバッハ点、ジェルゴンヌ点とシフラー点を通る直線上にある。また、ナーゲル点の等角共役である。よってこの点はフォイエルバッハ双曲線上にある。混線内接円が外接円と接する点の成す三角形は第三混線三角形(3rd mixtilinear triangle)と呼ばれる[11]。
三つの混線内接円の根心 は、 を
に内分する。ここで
は内心、
は内半径、
は外心、
は外半径である
[9]。
はミッテンプンクトの等角共役X(57)と内心の中点である。また、重心とジョンソン中点(オランダ語版)と共線である。Encyclopedia of Triangle CentersではX(999)に該当し三線座標は以下の式で与えられる[12]。
参考文献[編集]
- ^ チェン, エヴァン『数学オリンピック幾何への挑戦:ユークリッド幾何学をめぐる船旅』日本評論社、2023年、98頁。
- ^ a b c d Baca, Jafet. “On Mixtilinear Incircles”. 2021年10月27日閲覧。
- ^ Weisstein, Eric W.. “Mixtilinear Incircles” (英語). mathworld.wolfram.com. 2021年10月31日閲覧。
- ^ Nguyen Chuong Chi (2018). “A Proof of Dao’s Generalization of the Sawayama Lemma”. International Journal of Computer Discovered Mathematics Volume 3: 1-4. https://journal-1.eu/2018/Nguyen%20Chuong%20Chi%20-%20Dao's%20generalization.pdf.
- ^ Jean-Louis Ayme. “Sawayama and Th´ ebault’s theorem”. Forum Geometricorum. 2024年5月19日閲覧。
- ^ Yui, Paul (April 23, 2018). “Mixtilinear Incircles”. The American Mathematical Monthly 106 (10): 952–955. doi:10.1080/00029890.1999.12005146. https://www.tandfonline.com/doi/pdf/10.1080/00029890.1999.12005146 2021年10月27日閲覧。.
- ^ 岩田至康『幾何学大辞典 補巻2』槙書店、1993年、23頁。ISBN 4837506119。
- ^ a b Chen, Evan (2016). Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads. United States of America: MAA. pp. 68. ISBN 978-1-61444-411-4
- ^ a b Nguyen, Khoa Lu (2006年). “On Mixtilinear Incircles and Excircles”. 2021年11月27日閲覧。
- ^ “ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS X(56) = EXSIMILICENTER(CIRCUMCIRCLE, INCIRCLE)”. faculty.evansville.edu. 2021年10月31日閲覧。
- ^ “Index of triangles”. faculty.evansville.edu. 2024年5月11日閲覧。
- ^ “ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS X(999) = MIDPOINT OF X(1) AND X(57)”. faculty.evansville.edu. 2024年3月21日閲覧。