キーペルト円錐曲線
幾何学において、キーペルト円錐曲線(キーベルトえんすいきょくせん)とは三角形に関する2つの円錐曲線の総称である。一つはキーペルト双曲線(英:Kiepert Hyperbola)、もう一つは キーペルト放物線(英:Kiepert parabola)である。
キーペルト双曲線は3頂点、重心、垂心を通る円錐曲線、キーペルト放物線はオイラー線とX(110)をそれぞれ準線、焦点とする放物線としても定義できる[1]。R. H. Eddy と R. Fritscは論文で、キーペルト円錐曲線について以下の様に言及している[2]。
- "If a visitor from Mars desired to learn the geometry of the triangle but could stay in the earth's relatively dense atmosphere only long enough for a single lesson, earthling mathematicians would, no doubt, be hard-pressed to meet this request. In this paper, we believe that we have an optimum solution to the problem. The Kiepert conics ..."
キーペルト双曲線[編集]
詳しくは「キーペルト双曲線」を参照
キーペルト双曲線は、1869年ルードヴィヒ・キーペルトが、1868年のエーミル・ルモワーヌの "三角形の辺に正三角形を外接させたときの頂点がつくる三角形" という問題の解法として示した双曲線である[2]。
を各辺の長さ を角の大きさとする。
座標[編集]
キーペルト双曲線は重心座標 で以下のように表される。
中心と漸近線[編集]
- キーペルト双曲線は X(115)でその重心座標は以下の式で与えられる。
- .
性質[編集]
- X(115)は九点円上にある。また第一、第二フェルマー点の中点である。
- ブロカール軸上の点の等角共役の軌跡である。
- 正三角形でない三角形と点について、をの三線極線とする。がオイラー線に垂直であるようなの軌跡はキーペルト双曲線である。
キーペルト放物線[編集]
キーペルト放物線は1888年、ドイツの数学教師アウグストゥス・アーツが"school program"の中で研究した放物線である[2][3]。
- キーペルト放物線は重心座標 で以下のようにあらわされる。
-
ただし
.
-
- キーペルト放物線の焦点X(110)の重心座標は以下の式で与えられる。
- X(110)はパリー円、外接円上にある[1]。
- オイラー線上の点PをBC,CA,ABで鏡映した点をそれぞれA',B',C'とするとA'BC,AB'C,ABC'の外接円はX(110)で交わる。
- キーペルト放物線の準線はオイラー線である。
- キーペルト放物線は、ルモワーヌ軸、無限遠線に接する[1]。
- キーペルト放物線と各辺の接点はシュタイナー点のチェバ三角形の頂点である[4]。
- 外接三角形のフォイエルバッハ点はX(110)である。つまり、シュタムラー双曲線の中心である。
図[編集]
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三角形ABCとA'B'C'の配景の中心の軌跡
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直線LMNの包絡線
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キーペルト放物線の準線
関連項目[編集]
出典[編集]
- ^ a b c “X(110)=Focus of Kiepert Parabola”. Encyclopedia of Triangle Centers. 2022年2月4日閲覧。
- ^ a b c Eddy, R. H. and Fritsch, R. (1994). “The Conics of Ludwig Kiepert: A Comprehensive Lesson in the Geometry of the Triangle”. Math. Mag. 67 (3): 188–205. doi:10.1080/0025570X.1994.11996212.
- ^ Sharp, J. (2015). “Artzt parabolas of a triangle”. The Mathematical Gazette 99 (546): 444–463. doi:10.1017/mag.2015.81.
- ^ Weisstein, Eric W.. “Kiepert Parabola” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年3月27日閲覧。
外部リンク[編集]
- Weisstein, Eric W.. “Kiepert Hyperbola”. MathWorld--A Wolfram Web Resource.. 2022年2月5日閲覧。