アポロニウス点

ユークリッド幾何学において、 アポロニウス点（アポロニウスてん、英:Apollonius point）はクラーク・キンバリングの Encyclopedia of Triangle CentersでX(181)として登録されている三角形の心である。 3つの傍接円に外接する円と、傍接円の接点の成す三角形と元の三角形の配景として定義される。

文献によっては等力点に対してアポロニウス点の名を使用する場合もある。これは、等力点の性質にアポロニウスの円が関係することに由来する。

アポロニウスの問題の解は何世紀も前から知られていたが、1987年に初めて、アポロニウス点の指摘がなされた。

定義

  △ABCの辺の延長

  傍接円E_A, E_B, E_C

  △ABCのアポロニウス円

  AA', BB', CC'の交点アポロニウス点

アポロニウス点の定義は以下のとおりである。

△ABC について、A, B, Cの傍接円をそれぞれE_A, E_B, E_Cとする。また、E を E_A, E_B, E_C に外接する円として定義する。EとE_A, E_B, E_Cの接点をそれぞれA', B', C' として

AA', BB', CC' は共点である。この点を△ABCのアポロニウス点という。

アポロニウスの問題とは、3円に接する円の構成に関する問題である。一般的に、3つの円に接する円は最大8つ存在する。3つの傍接円の場合は、九点円や三角形の3辺が解の一つとなる。Encyclopedia of Triangle Centersの中でEはアポロニウス円（the Apollonius circle）と呼ばれている。

アポロニウス円の半径は${\frac {r^{2}+s^{2}}{4r}}$である。ただしr,sはそれぞれ内接円の半径、半周長である。

三線座標

アポロニウス点の三線座標は以下の式で与えられる。

${\begin{array}{ccccc}&\displaystyle {\frac {a(b+c)^{2}}{b+c-a}}&:&\displaystyle {\frac {b(c+a)^{2}}{c+a-b}}&:&\displaystyle {\frac {c(a+b)^{2}}{a+b-c}}\\[4pt]=&\sin ^{2}\!A\,\cos ^{2}{\frac {B-C}{2}}&:&\sin ^{2}\!B\,\cos ^{2}{\frac {C-A}{2}}&:&\sin ^{2}\!C\,\cos ^{2}{\frac {A-B}{2}}\end{array}}$

証明

A',Jをそれぞれ、Aの傍接円とアポロニウス円、内接円とアポロニウス円の外側の相似中心とすると、頂点Aは内接円とAの傍接円の外側の相似中心なので、モンジュの定理よりA,A',Jは共線である。傍接円とアポロニウス円は接しているので、A'はその接点である。同様にして、B,B',JとC,C',Jの共線も分かり、AA', BB', CC'は内接円とアポロニウス円の外側の相似中心J、つまりアポロニウス点で交わる。

関連する図形

アポロニウス円と傍接円の接点が成す三角形はアポロニウス三角形（Apollonius triangle）と呼ばれる。

アポロニウス円の中心はEncyclopedia of Triangle CentersではX(970)にあたる。X(970)はブロカール軸上に位置する。九点円とアポロニウス円の内側の相似中心はシュピーカー中心である。したがって九点円の中心、シュピーカー中心、X(970)は共線である。X(970)の三線座標は以下の式で与えられる。

$$(r^{2}-s^{2})\cos A+2rs\sin A:(r^{2}-s^{2})\cos B+2rs\sin B:(r^{2}-s^{2})\cos C+2rs\sin C$$

内接円とアポロニウス円の内側の相似中心は、X(1682)にあたる。三線座標は以下の式で与えられる。

$${\frac {(b+c-a)}{(b^{2}+c^{2}+ab+ac)^{2}}}:{\frac {(c+a-b)}{(c^{2}+a^{2}+bc+ba)^{2}}}:{\frac {(a+b-c)}{(a^{2}+b^{2}+ca+cb)^{2}}}$$

関連

• アポロニウスの定理
• ペルガのアポロニウス
• アポロニウスの問題
• アポロニウスの円束
• 等力点