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微分積分学において置換積分(ちかんせきぶん, 英語: Integration by substitution)は、変数変換を用いて積分を計算する積分法である。
一変数の置換[編集]
不定積分の置換積分[編集]
連続関数 f(x) と微分可能関数 x = g(t) について次の等式が成り立つ[注 1]。
導出には以下のように連鎖律と微分積分学の基本定理を用いる。
この等式から変換公式の両辺の不定積分は t で微分したときに等しいことから、定数項の違いを除いて等しいことが帰結される。
また、変換公式は形式的に f(x) = f(g(t)) と dx = g'(t) dt に分けて考えることができる。後者は厳密には微分形式の理論によって正当化され、後述する多変数の置換積分と併せて積分の変数変換を一般化する。
定積分の置換積分[編集]
定積分で変数変換する際には、以下のように積分区間も変換される。
u = x2 + 1 で x から u に変数変換する。ここで、du = 2x dx なので x dx = (1/2)du である。また、x = 0 に対して u = 02+ 1 = 1 であり、x = 2 に対して u = 22+ 1 = 5 であるので、
と計算できる。
x = sin(u) で x から u に変数変換する。このとき、dx = cos(u) du である。また、0 = sin(0) および 1 = sin(π/2) であることから積分区間を [0, π/2] に変換すると、この区間において |cos(u)| = cos(u) であることに注意して、
と計算できる。
多変数の置換[編集]
x=φ(u,v),y=ψ(u,v)と変数変換すると
ここで、
はヤコビアン(ヤコビ行列の行列式である。)
これは形式的にと書ける。
関連項目[編集]