出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
余接定理 (よせつていり)[1] は、三角形 の辺の長さと3つの角の半分の余接 の関係を表す三角法 の定理である。余接法則とも呼ばれる。
回避三角形の内接円による辺の分割。角の二等分線は内心(内接円の中心)で交わる。
図のように a , b , c を3辺の長さ、A , B , C を各頂点とし、α , β , γ を各頂点に対応する角、半周長 を s = a + b + c / 2 , r を内接円 の半径とすると、以下の式が成立する。
cot
(
α
2
)
s
−
a
=
cot
(
β
2
)
s
−
b
=
cot
(
γ
2
)
s
−
c
=
1
r
{\displaystyle {\frac {\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)}{s-a}}={\frac {\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)}{s-b}}={\frac {\cot \left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}{s-c}}={\frac {1}{r}}}
(1)
また、r について、
r
=
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
s
.
{\displaystyle r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}.}
(2)
図のように、内接円と辺の接点において三角形の3辺が3組6本の線分に分割され、それぞれの組の線分の長さは等しく、各組から1本ずつ選んだ3線分の長さの和が半周長に等しい。
内接円の半径と辺は垂直に交わるから、余接の定義より、
cot
(
α
2
)
=
s
−
a
r
{\displaystyle \cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)={\frac {s-a}{r}}\,}
(*1)
ここで、
s
−
a
=
c
+
b
−
a
2
{\displaystyle s-a={\frac {c+b-a}{2}}}
三角形の成立条件より
c
+
b
−
a
>
0
{\displaystyle c+b-a>0}
だから
s
−
a
>
0
{\displaystyle s-a>0}
∴
cot
(
α
2
)
s
−
a
=
1
r
{\displaystyle {\frac {\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)}{s-a}}={\frac {1}{r}}\,}
(1)
他の角においても同様に示される。
また、式(2)については、以下の式を適用する。
cot
(
u
+
v
+
w
)
=
cot
u
+
cot
v
+
cot
w
−
cot
u
cot
v
cot
w
1
−
cot
u
cot
v
−
cot
v
cot
w
−
cot
w
cot
u
.
{\displaystyle \cot(u+v+w)={\frac {\cot u+\cot v+\cot w-\cot u\cot v\cot w}{1-\cot u\cot v-\cot v\cot w-\cot w\cot u}}.}
u
=
α
2
{\displaystyle u={\frac {\alpha }{2}}}
,
v
=
β
2
{\displaystyle v={\frac {\beta }{2}}}
,
w
=
γ
2
{\displaystyle w={\frac {\gamma }{2}}}
とすると、cot( α / 2 + β / 2 + γ / 2 ) = cot π / 2 = 0 より、
cot
(
α
2
)
cot
(
β
2
)
cot
(
γ
2
)
=
cot
(
α
2
)
+
cot
(
β
2
)
+
cot
(
γ
2
)
.
{\displaystyle \cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cot \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right)=\cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\frac {\beta }{2}}\right)+\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right).}
よって、式(*1)より
(
s
−
a
)
r
(
s
−
b
)
r
(
s
−
c
)
r
=
s
−
a
r
+
s
−
b
r
+
s
−
c
r
=
3
s
−
2
s
r
=
s
r
.
{\displaystyle {\frac {(s-a)}{r}}{\frac {(s-b)}{r}}{\frac {(s-c)}{r}}={\frac {s-a}{r}}+{\frac {s-b}{r}}+{\frac {s-c}{r}}={\frac {3s-2s}{r}}={\frac {s}{r}}.}
辺々にr 3 / s をかけて整理すれば、式(2)が示される。
他の公式の証明 [ 編集 ]
余接定理により正接定理 が証明されるほか、以下のように他のいくつかの公式の証明にも適用される。
ヘロンの公式 [ 編集 ]
辺と同様に三角形ABC が3組6個の三角形に分割され、各組の三角形の面積は等しい。例えば、頂点A 付近の2個の三角形はともに底辺がs − a 、高さr であり、面積は1 / 2 r (s − a ) であり、和はr (s − a ) となる(他も同様)。
よって、三角形ABC の面積S は、
S
=
r
(
s
−
a
)
+
r
(
s
−
b
)
+
r
(
s
−
c
)
=
r
(
3
s
−
(
a
+
b
+
c
)
)
=
r
(
3
s
−
2
s
)
=
r
s
.
{\displaystyle {\begin{aligned}S&=r(s-a)+r(s-b)+r(s-c)\\&=r{\bigl (}3s-(a+b+c){\bigr )}=r(3s-2s)=rs.\end{aligned}}}
∴
S
=
s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
{\displaystyle S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}
モルワイデの公式 [ 編集 ]
和の公式と余接定理より、
sin
(
α
2
−
β
2
)
sin
(
α
2
+
β
2
)
=
cot
(
β
2
)
−
cot
(
α
2
)
cot
(
β
2
)
+
cot
(
α
2
)
=
a
−
b
2
s
−
a
−
b
.
{\displaystyle {\frac {\sin \left({\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}\right)}{\sin \left({\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {\beta }{2}}\right)}}={\frac {\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)-\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)}{\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)+\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)}}={\frac {a-b}{2s-a-b}}.}
∴
a
−
b
c
=
sin
(
α
2
−
β
2
)
cos
(
γ
2
)
{\displaystyle {\dfrac {a-b}{c}}={\dfrac {\sin \left({\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}\right)}{\cos \left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}}}
和の公式と余接定理より、
cos
(
α
2
−
β
2
)
cos
(
α
2
+
β
2
)
=
cot
(
α
2
)
cot
(
β
2
)
+
1
cot
(
α
2
)
cot
(
β
2
)
−
1
=
cot
(
α
2
)
+
cot
(
β
2
)
+
2
cot
(
γ
2
)
cot
(
α
2
)
+
cot
(
β
2
)
=
4
s
−
a
−
b
−
2
c
2
s
−
a
−
b
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\cos \left({\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}\right)}{\cos \left({\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {\beta }{2}}\right)}}={\frac {\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)+1}{\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)-1}}\\[6pt]={}&{\frac {\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)+2\cot \left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}{\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)}}={\frac {4s-a-b-2c}{2s-a-b}}.\end{aligned}}}
和積公式を適用して整理すれば、
b
+
a
c
=
cos
(
α
2
−
β
2
)
sin
(
γ
2
)
{\displaystyle {\dfrac {b+a}{c}}={\dfrac {\cos \left({\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}\right)}{\sin \left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}}}
関連項目 [ 編集 ]
^ The Universal Encyclopaedia of Mathematics, Pan Reference Books, 1976, page 530. English version George Allen and Unwin, 1964. Translated from the German version Meyers Rechenduden, 1960.
参考文献 [ 編集 ]
Silvester, John R. (2001), Geometry: Ancient and Modern , Oxford University Press, pp. 313, ISBN 9780198508250