0.999...が1に等しいことの証明

数学において初学者は、「循環小数0.999...と1は等しくない」という誤った認識を持つことがある。以下にそれら二数が等しいことを示す。

証明

$0.999\ldots$	$={\frac {9}{10}}+{\frac {9}{100}}+{\frac {9}{1000}}+\cdots$
	$=-9+{\frac {9}{1}}+{\frac {9}{10}}+{\frac {9}{100}}+{\frac {9}{1000}}+\cdots$
	$=-9+9\times \sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{10}}\right)^{k}$
	$=-9+9\times {\frac {1}{1-{\frac {1}{10}}}}$
	$=1.\,$

解説

上の証明では、次の無限等比級数が収束することの理解が重要な鍵となる。

$\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{10}}\right)^{k}={\frac {1}{1-{\frac {1}{10}}}}.$

その他の証明

代数の操作

この証明では収束級数は扱っていないものの、理解は更に容易であろう。

$x$	$=0.999\ldots$
$10x-x$	$=9.999\ldots -0.999\ldots$
$9x$	$=9$
$x$	$=1$

実数の性質

実数の性質を用いて証明することも可能である。0.999...と1を異なる二つの実数であると仮定すると、実数の性質により、区間(0.999..., 1)には無数の実数が存在することになる。しかし、実際そのような実数は存在しないので、仮定は偽であることが分かる。故に、0.999...と1は等しい。

分数を用いた説明

ある数字を9で割ると、その数字が循環するような小数を得ることが出来る。

$1/9$	$=0.111\ldots$
$2/9$	$=0.222\ldots$
（中略）
$8/9$	$=0.888\ldots$

ここで

$9/9$	$=1/9+8/9$
	$=0.111\ldots +0.888\ldots$
	$=0.999\ldots$

である。しかし任意の数(9/9)をそれ自体(9/9)で割った商は1である。故に0.999...＝１

参考項目

• 循環小数
• 等比級数
• 収束級数
• 無限級数
• 極限

外部リンク

• Repeating Nines
• Why does 0.9999... = 1 ?
• Ask A Scientist: Repeating Decimals