「ディリクレの関数」の版間の差分
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'''ディリクレの関数'''(ディリクレの-かんすう)とは、[[実数]]全体の成す集合 |
'''ディリクレの関数'''(ディリクレの-かんすう)とは、[[実数]]全体の成す集合 ℝ 上で定義される次のような[[関数 (数学)|関数]]のことである。 |
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式から分かるように、この関数はいたるところで不連続である。さらに、 |
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: <math>\sup \int^a_b f(x)dx=a-b</math> |
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: <math>\inf \int^a_b f(x)dx=0</math> |
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が成り立つから、(sup∫ を[[上積分]]、inf∫ を[[下積分]]という)ディリクレの関数はリーマン[[積分]]不可能であることが分かる。([[ルベーグ積分]]は可能で、その値は 0 である。これは、[[可算無限集合]]である |
が成り立つから、(sup∫ を[[上積分]]、inf∫ を[[下積分]]という)ディリクレの関数はリーマン[[積分]]不可能であることが分かる。([[ルベーグ積分]]は可能で、その値は 0 である。これは、[[可算無限集合]]である ℚ は[[ルベーグ測度]]に関して零集合であることによる) |
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==周期性== |
==周期性== |
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この関数は、任意の有理数aに対して <math>f(x+a)=f(x)</math> となる。これは有理数全体の集合が[[群 (数学)|加法について閉じている]]ことによる。 |
この関数は、任意の有理数aに対して <math>f(x+a)=f(x)</math> となる。これは有理数全体の集合 ℚ が[[群 (数学)|加法について閉じている]]ことによる。 |
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また、この関数は無限個の周期を持ち、かつ定数関数とならない一例である。 |
また、この関数は無限個の周期を持ち、かつ定数関数とならない一例である。 |
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ディリクレの関数は、[[ペーター・グスタフ・ディリクレ|ディリクレ]]本人によって、 |
ディリクレの関数は、[[ペーター・グスタフ・ディリクレ|ディリクレ]]本人によって、 |
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: <math>f(x)=\lim_{n\to \infin} \lim_{k\to \infin} \cos^{2k} (n!\, \pi x)</math> |
: <math>f(x)=\lim_{n\to \infin} \lim_{k\to \infin} \cos^{2k} (n!\, \pi x)</math> |
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と表せることが示されている(したがってディリクレ関数は 2 階の[[ベール関数]]の一例である)。その方法は次による。 |
と表せることが示されている<ref>{{citation| first = Peter Gustav | last = Lejeune Dirichlet | title = Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données| journal = Journal für die reine und angewandte Mathematik |volume = 4 | year = 1829 | url = https://eudml.org/doc/183134 | pages = 157–169}} </ref>(したがってディリクレ関数は 2 階の[[ベール関数]]の一例である)。その方法は次による。 |
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任意の有理数 |
任意の有理数 {{Mvar|q}} を考える。[[階乗|{{Mvar|n}}!]] {{Mvar|q}} は、十分大きな {{Mvar|n}} に対して恒等的に[[整数]]である。それに比べ、無理数 {{Mvar|r}} は、いくら {{Mvar|n}} を大きく取っても {{Mvar|n}}! {{Mvar|r}} が整数にならない。従って、ディリクレの関数は、次のように変形できる。 |
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f(x)= |
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ただし、ℤ は整数全体の成す集合。さてここで、関数 |
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を表示できれば、{{Mvar|f}}({{Mvar|x}}) = lim[{{Mvar|n}}→∞] F({{Mvar|n}}!{{Mvar|x}}) となって決着がつく。({{Mvar|F}} は単独で考えても興味深い関数である。) {{Mvar|F}} は、[[不連続]]でありながらも[[周期的]]である。一定の[[周期]]を持つ関数として[[三角関数]]を考える。cos<sup>2</sup>(π{{Mvar|x}}) は、{{Mvar|x}} が整数であれば 1 を返し、それ以外であれば [0, 1) 内の実数を返す。[0, 1) 内の実数は、無限回[[冪乗]]することによって 0 に収束させることが出来る。また、1 はいくら冪乗しても常に 1 となって変化しない。これより、 |
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: <math>F(x)=\lim_{k\to \infin} \cos^{2k} (\pi x)</math> |
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が結論付けられる。従って、 |
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: <math>f(x)=\lim_{n\to \infin} F(n!x)=\lim_{n\to \infin} \lim_{k\to \infin} \cos^{2k} (n!\pi x)</math> |
: <math>f(x)=\lim_{n\to \infin} F(n!x)=\lim_{n\to \infin} \lim_{k\to \infin} \cos^{2k} (n!\pi x)</math> |
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*[[ワイエルシュトラス関数]] |
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== 外部リンク == |
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*{{高校数学の美しい物語|title=ディリクレ関数の定義と有名な3つの性質|urlname=dirifunction}} |
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*{{PDFlink|[http://www.libe.nara-k.ac.jp/~yano/biseki2_2015/20151007_resume.pdf Dirichlet関数]}} |
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*{{YouTube|Fa4vw-AEPtc|ディリクレ関数の具体的な形は? 解析入門}} |
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*{{MathWorld|title=Dirichlet Function|urlname=DirichletFunction}} |
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2020年8月2日 (日) 09:11時点における版
ディリクレの関数(ディリクレの-かんすう)とは、実数全体の成す集合 ℝ 上で定義される次のような関数のことである。
ただし、ℚ は有理数全体の成す集合である。 式から分かるように、この関数はいたるところで不連続である。さらに、
が成り立つから、(sup∫ を上積分、inf∫ を下積分という)ディリクレの関数はリーマン積分不可能であることが分かる。(ルベーグ積分は可能で、その値は 0 である。これは、可算無限集合である ℚ はルベーグ測度に関して零集合であることによる)
周期性
この関数は、任意の有理数aに対して となる。これは有理数全体の集合 ℚ が加法について閉じていることによる。
また、この関数は無限個の周期を持ち、かつ定数関数とならない一例である。
連続関数の極限としての表示
ディリクレの関数は、ディリクレ本人によって、
と表せることが示されている[1](したがってディリクレ関数は 2 階のベール関数の一例である)。その方法は次による。
任意の有理数 q を考える。n! q は、十分大きな n に対して恒等的に整数である。それに比べ、無理数 r は、いくら n を大きく取っても n! r が整数にならない。従って、ディリクレの関数は、次のように変形できる。
ただし、ℤ は整数全体の成す集合。さてここで、関数
を表示できれば、f(x) = lim[n→∞] F(n!x) となって決着がつく。(F は単独で考えても興味深い関数である。) F は、不連続でありながらも周期的である。一定の周期を持つ関数として三角関数を考える。cos2(πx) は、x が整数であれば 1 を返し、それ以外であれば [0, 1) 内の実数を返す。[0, 1) 内の実数は、無限回冪乗することによって 0 に収束させることが出来る。また、1 はいくら冪乗しても常に 1 となって変化しない。これより、
が結論付けられる。従って、
となる訳である。
脚注
- ^ Lejeune Dirichlet, Peter Gustav (1829), “Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données”, Journal für die reine und angewandte Mathematik 4: 157–169
関連項目
外部リンク
- 『{{{2}}}』 - 高校数学の美しい物語
- Dirichlet関数 (PDF)
- ディリクレ関数の具体的な形は? 解析入門 - YouTube
- Weisstein, Eric W. "Dirichlet Function". mathworld.wolfram.com (英語).