初等幾何学

初等幾何学（しょとうきかがく、英: elementary geometry）は、二次元（点や直線や円など）・三次元（錘体や球など）の図形をユークリッド幾何学的に扱う数学、幾何学の分野である。

概説

ユークリッド幾何学的方法とは図形を直接取り扱う方法であり、補助線などを用いて基本的原理である公理系や定義から平面・空間における具体的かつ幾何学的な命題・定理を証明していく方法であって、19世紀には総合幾何学とも呼ばれた。総合幾何学はまた純粋幾何学と呼ばれることもある。

解析幾何学のように座標や代数的式を用いたり、微分幾何学のように解析学を用いたりしないものである。初等幾何学で扱われる対象が経験的かつ直感的であるため、このように命名されたものと考えられているが、数学において初等といえば必ずしもやさしいなどといった意味ではなく、歴史的に最も古い分野の一つであるが、近代においても定理が発見されているため、ユークリッド原論などによって完成された分野ではない。例えばラングレーの問題なども、20世紀に入ってから出された問題である。

総合幾何学は古典的な射影幾何学も包含し、初等幾何学における問題は何らかの定理や命題を証明するもののほかに、定規とコンパスによる作図問題が有名である。作図問題では、定規は直線を引くためだけに用い、長さを測定してはならず、コンパスは円を書くためだけに用い、書き終わったらただちに紙から離してすぐに閉じねばならない。つまり、定規やコンパスを用いて長さを測定したり、分度器を使ったりする行為すら初等幾何学においては禁止されており、例えば2つの辺の長さが1である直角二等辺三角形の斜辺の長さは√2であるが、これも初等幾何学における証明や作図行為においては定規で長さを測ってはいけないわけである。

教育

初等幾何学の公理系は、古代から長らくユークリッドによって完成されたと思われており、多くの数学者や科学者や哲学者などによって批判的に検討されたが、とくに19世紀後半以降にユークリッド幾何学の公理系が本当に間違っていないのか、矛盾しないのかどうか徹底的に検証され、ヒルベルトによって幾何学基礎論によってその成果がまとめられた。20世紀に入ってからも、コクセターは総合幾何学的方法を重視したし、ジャン・デュドネは線形代数など代数的・解析的手法を応用して図すら使わず、抽象的にその基礎付けを与えたりした。

教育においては長らく重視されてきたが、幾何学基礎論による批判なども相次ぎ、もっと厳密な数学を教えるべきだと一時期取沙汰され、デュドネの著書もそのような流れで執筆されたものである。日本でも明治から戦後まもないころまでは初等幾何学や解析幾何学が体系的に教えられていたが、その後、いわゆる「現代化」などもあり、学校教育からは初等幾何学は大幅に削減された。小平邦彦など、過度に厳密すぎるのもかえって問題ではないかと抵抗した数学者・科学者もいる。（しかし数学教育全体の観点からは、行列など、実際に現代の科学（物理）や技術や工学で絶対に必要なものをカリキュラムに追加しなければならなかったという事情などもあり、一方的な観点から語ることはできない）

現況

以前は、学習指導要領の改訂の度に初等幾何学は削減が定向となっており、一時期の高校数学からは完全に姿を消していた。しかし、1990年代以降に注目されるようになった国際数学オリンピックなどにおいて、日本勢の幾何感覚の薄さが取り沙汰されたことなどによる見直しなどもあり、2016年現在、初等幾何学が部分的に復活しており、京都大学の2009年度の入試問題乙の問2が話題となった。

また、イギリスの J. F. Rigbyの手でも解けなかったラングレーの問題の拡張が、yahooアカウントaerile_reによって証明され話題になるなど、ネットでも幾何学は、時折話題になるもの、の一つとなっている。

参考図書

• 小平邦彦著、上野健爾解説『幾何への誘い』、岩波書店〈岩波現代文庫〉、2000年。
• 秋山武太郎著、春日屋伸昌改訂『わかる幾何学』、日新出版〈わかる数学全書 第3巻〉、1959年。ISBN 978-4-8173-0006-5 C0041
• 矢野健太郎監修、清宮俊雄著『幾何学』、〈モノグラフ〉、科学新興社。 ISBN 978-4-89428-188-2

関連人物

• エウクレイデス（ユークリッド）
• アドリアン＝マリ・ルジャンドル - ガロアが初めて本格的に数学を習い始めたとき、2年かけて学ぶルジャンドルの初等幾何学の著書をたった2日で読破した。
• ハロルド・スコット・マクドナルド・コクセター
• 小平邦彦

関連項目

• 幾何学
• ユークリッド幾何学
• 解析幾何学
• 作図
• 幾何学基礎論