調和数

調和数（ちょうわすう、英: harmonic divisor number）は、自然数のうち、全ての正の約数の調和平均が整数値をもつ数のことである。例えば6の約数の調和平均は $\left({\frac {4}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}}}}\right)=2$　で整数値となるので6は調和数である。

調和数は無数に存在するかどうか分かっていないが、そのうち最も小さいものは1である。

調和数を1から小さい順に列記すると

1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190, …（オンライン整数列大辞典の数列 A001599）

であり、このときの約数の調和平均は

1, 2, 3, 5, 6, 5, 8, 9, 11, 10, 7, 15,…(オンライン整数列大辞典の数列 A001600)

である。

完全数は全て調和数である。なぜなら完全数の約数の逆数和は2であり、約数は全部で偶数個あるため、完全数の約数の調和平均は必ず整数値をとるからである。

奇数の調和数は1以外発見されておらず、他にそのような数が存在するかどうかは分かっていない。

その他調和数に関連すること

n番目までの自然数の逆数の和を調和数とよぶこともある。この調和数はn≧2では整数値にならないことが知られている。区別のため完全数が含まれるほう（本項目）の調和数をオアの調和数とよぶこともある。オアは1948年に調和数の概念を考案した数学者の名前である。

関連項目

• 完全数
• 調和数列