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'''コーシーの冪根判定法'''(―のべきこんはんていほう、root test) とは、[[無限級数]]の[[収束|収束性]]を判定する方法の一つである。とりわけ、[[冪級数]]に関連することに有用である。「コーシーの冪根判定法」という名前は、これを最初に発見した[[オーギュスタン＝ルイ・コーシー]]に由来する。 |
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:<math>C = \limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|}</math> |
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（"lim sup" は[[上極限]]を意味する）とするとき、''C'' < 1 であれば級数は収束し、''C'' > 1 であれば[[発散]]する。''C'' = 1 ならば、この判定法ではどちらとも言えない。もし、級数の[[項]]が ''c'' を中心とする冪級数 |
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:<math>\sum_{n=0}^\infty a_n (z-c)^n</math> |
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の[[係数]]であれば、この冪級数の収束半径は 1/''C'' である。これは、0 の逆数として考えた ∞ も含む。 |
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== 証明 == |
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証明は、[[比較判定法]]を利用したものである。もし、全ての <math>n\geq N</math> に対し <math>\sqrt[n]{a_n}<k<1</math> ならば、<math>a_n<k^n<1</math> が成立する。比較判定法より、[[幾何級数]] <math>\sum_{i=N}^\infty k^i</math> が収束すれば、<math>\sum_{i=N}^\infty a_n</math> もまた収束する。 |
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もし、<math>\sqrt[n]{a_n}>1</math> ならば、<math>\sum_{i=N}^\infty 1</math> と比較して級数は発散する。a<sub>n</sub> が非正である場合の絶対収束性は、<math>\sqrt[n]{|a_n|}</math> を用いれば同様にして証明できる。 |
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== 関連記事 == |
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* [[ダランベールの収束判定法]] |
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* [[収束半径]] |
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== 参考文献 == |
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* {{cite book |
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| author= Knopp, Konrad |
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| title= Infinite Sequences and Series |
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| chapter = § 3.2 |
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| publisher=Dover publications, Inc., New York |
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| year=1956 |
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| id = ISBN 0486601536}} |
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* {{cite book |
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| author= Whittaker, E. T., and Watson, G. N. |
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| title= A Course in Modern Analysis |
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| chapter = § 2.35 |
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| edition=fourth edition |
|||
| publisher=Cambridge University Press |
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| year=1963 |
|||
| id = ISBN 0521588073}} |
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{{DEFAULTSORT:こおしいのへきこんはんていほう}} |
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[[Category:微分積分学]] |
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[[Category:数学に関する記事]] |
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{{PlanetMath attribution|id=33934|title=Proof of Cauchy's root test}} |
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[[pl:Kryteria zbieżności szeregów#Kryterium Cauchy'ego]] |
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2016年1月29日 (金) 11:22時点における版
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