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:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
\left(\cos \frac{x}{n}\right)^n
\left(\cos \frac{x}{n}\right)^n
&= (1+a_{n})^n\\
&= \left (1+a_{n} \right )^n\\
&= 1+na_{n}+\binom{n}{2}a_{n}^2+ \dotsb
&= 1+na_{n}+\binom{n}{2}a_{n}^2+ \dotsb
\end{align}</math>
\end{align}</math>
オイラーの公式の図形的な表現。グラフは横軸が実数軸、縦軸が虚数軸の複素平面であり、φ は複素数 eiφ 数学 、特に複素解析 におけるオイラーの公式 （オイラーのこうしき、英 : Euler's formula ）は、指数関数 と三角関数 の間に成り立つ以下の関係をいう。
e
i
θ
=
cos
θ
+
i
sin
θ
.
{\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .}
ここで e · i は虚数単位 、cos · , sin · はそれぞれ余弦関数および正弦関数である[注 1] 複素数 θ に対して成り立つ等式であるが、特に θ が実数である場合が重要でありよく使われる。θ が実数 のとき、θ は複素数 e iθ 複素平面 上の偏角 （角度 θ の単位はラジアン ）に対応する。
公式の名前は18世紀の数学者レオンハルト・オイラー (Leonhard Euler ) に因むが、最初の発見者はロジャー・コーツ (Roger Cotes ) とされる。コーツは1714年 に
log
(
cos
x
+
i
sin
x
)
=
i
x
{\displaystyle \log \left(\cos x+i\sin x\right)=ix\ }
を発見した[1] 多価性 を見逃した。
1740年頃オイラーはこの対数関数の形での公式から現在オイラーの公式の名で呼ばれる指数関数での形に注意を向けた。指数関数と三角関数の級数展開を比較することによる証明が得られ出版されたのは1748年のことだった[1]
この公式は複素解析をはじめとする純粋数学の様々な分野や、電気工学 ・物理学 などで現れる微分方程式の解析において重要な役割を演じる。物理学者のリチャード・ファインマン はこの公式を評して「我々の至宝」かつ「すべての数学のなかでもっとも素晴らしい公式」
だと述べている。
オイラーの公式は、変数 θ が実数である場合には、右辺は実空間上で定義される通常の三角関数で表され、虚数 の指数関数の実部と虚部がそれぞれ角度 θ に対応する余弦関数 cos と正弦関数 sin に等しいことを表す。このとき、偏角 θ をパラメータ とする曲線 e iθ 単位円 をなす。
特に、θ = π
e
i
π
=
−
1
{\displaystyle e^{i\pi }=-1}
となる。この関係はオイラーの等式 (Euler's identity) と呼ばれる[注 2]
θ が純虚数である場合には、左辺は実空間上で定義される通常の指数関数であり、右辺は純虚数に対する三角関数となる。
オイラーの公式は、三角関数 cos θ , sin θ が双曲線関数 cosh(iθ ), sinh(iθ )/i に対応することを導く。また応用上は、オイラーの公式を経由して三角関数を複素指数関数に置き換えることで、微分方程式 やフーリエ級数 などの扱いを簡単にすることなどに利用される。
指数関数と三角関数 実関数として定義される指数関数 e x 三角関数 cos x , sin x を各々マクローリン展開 すれば[注 3]
e
x
=
∑
n
=
0
∞
x
n
n
!
for all
x
{\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\quad {\mbox{ for all }}x}
(1 )
cos
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
x
2
n
for all
x
{\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}\,x^{2n}\quad {\mbox{ for all }}x}
(2 )
sin
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
+
1
)
!
x
2
n
+
1
for all
x
{\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}\,x^{2n+1}\quad {\mbox{ for all }}x}
(3 )
となる。これらの級数の収束半径 が ∞ であることはダランベールの収束判定法 によって確認することができる[注 4] x を複素変数と見て全複素平面上広義一様に絶対収束 し、これらの級数によって表される関数は整関数 である[注 5] 正則関数 に関する一致の定理 により、正則関数としての拡張 は全平面でこの収束冪級数 によって確定されるため、複素関数としての指数関数および、三角関数は通常、この級数展開式をもって定義される。
ここで、 e x x を ix に置き換え、e ix
e
i
x
=
∑
n
=
0
∞
i
n
n
!
x
n
=
∑
n
=
0
∞
i
2
n
(
2
n
)
!
x
2
n
+
∑
n
=
0
∞
i
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
x
2
n
+
1
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
x
2
n
+
i
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
+
1
)
!
x
2
n
+
1
{\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {i^{n}}{n!}}x^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {i^{2n}}{(2n)!}}x^{2n}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {i^{2n+1}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}+i\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\end{aligned}}}
が成り立つ。この式と三角関数の冪級数展開を比較すれば
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}
が得られる。
この公式は、歴史的には全く起源の異なる指数関数と三角関数が、複素数 の世界では密接に結びついていることを表している。
たとえば、三角関数の加法定理 は、指数法則 e a e b e a + b [4] [注 6]
オイラーの公式を利用して三角関数を指数関数に置き換えることができる。たとえば余弦関数と正弦関数については直接的に、
cos
z
=
e
i
z
+
e
−
i
z
2
,
sin
z
=
e
i
z
−
e
−
i
z
2
i
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos z&={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}},\\\sin z&={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\end{aligned}}}
という表現が得られる。
証明 この公式には、上記の冪級数展開による証明 の他にも異なる幾通りかの証明が知られている。ここにいくつかの例を挙げる。
微分による証明
証明 — 微分 を用いた証明を示す。実変数 x の関数 f (x )
f
(
x
)
=
d
e
f
(
cos
x
−
i
sin
x
)
⋅
e
i
x
.
{\displaystyle f(x){\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}(\cos x-i\sin x)\cdot e^{ix}.}
(1 )
f (x )
f
′
(
x
)
=
(
cos
x
−
i
sin
x
)
′
⋅
e
i
x
+
(
cos
x
−
i
sin
x
)
⋅
(
e
i
x
)
′
(Leibniz's rule)
=
(
−
sin
x
−
i
cos
x
)
⋅
e
i
x
+
(
cos
x
−
i
sin
x
)
⋅
i
e
i
x
=
{
(
−
sin
x
−
i
cos
x
)
+
(
i
cos
x
+
sin
x
)
}
⋅
e
i
x
(
i
2
=
−
1
)
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=(\cos x-i\sin x)'\cdot e^{ix}+(\cos x-i\sin x)\cdot (e^{ix})'\qquad {\mbox{(Leibniz's rule)}}\\&=(-\sin x-i\cos x)\cdot e^{ix}+(\cos x-i\sin x)\cdot ie^{ix}\\&=\left\{(-\sin x-i\cos x)+(i\cos x+\sin x)\right\}\cdot e^{ix}\qquad (i^{2}=-1)\\&=0\end{aligned}}}
したがって、すべての実数 x について f' (x ) = 0f (x )定数関数 であることと同値 である。よって f (x ) = f (0)
f
(
x
)
=
(
cos
0
−
i
sin
0
)
⋅
e
i
⋅
0
=
1
{\displaystyle f(x)=(\cos 0-i\sin 0)\cdot e^{i\cdot 0}=1}
(2 )
となる。(2) (1)
(
cos
x
−
i
sin
x
)
⋅
e
i
x
=
1.
{\displaystyle (\cos x-i\sin x)\cdot e^{ix}=1.}
(3 )
ここで (3) (cos x - i sin x ) の複素共役 (cos x + i sin x ) を掛ければ、三角関数に関するピタゴラスの定理 sin2 x + cos2 x = 1 よりオイラーの公式が得られる[5]
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
.
{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.}
証明 — x の関数 f (x )
f
(
x
)
=
d
e
f
(
cos
x
+
i
sin
x
)
⋅
e
−
i
x
.
{\displaystyle f(x){\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}(\cos x+i\sin x)\cdot e^{-ix}.}
(4 )
f (x )x について微分すると以下のようになる。
f
′
(
x
)
=
(
cos
x
+
i
sin
x
)
′
⋅
e
−
i
x
+
(
cos
x
+
i
sin
x
)
⋅
(
e
−
i
x
)
′
(Leibniz's rule)
=
(
−
sin
x
+
i
cos
x
)
⋅
e
−
i
x
−
(
cos
x
+
i
sin
x
)
⋅
i
e
−
i
x
=
(
−
sin
x
+
i
cos
x
−
i
cos
x
+
sin
x
)
⋅
e
−
i
x
(
i
2
=
−
1
)
=
0.
{\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=(\cos x+i\sin x)'\cdot e^{-ix}+(\cos x+i\sin x)\cdot (e^{-ix})'\qquad {\mbox{(Leibniz's rule)}}\\&=(-\sin x+i\cos x)\cdot e^{-ix}-(\cos x+i\sin x)\cdot ie^{-ix}\\&=(-\sin x+i\cos x-i\cos x+\sin x)\cdot e^{-ix}\qquad (i^{2}=-1)\\&=0.\end{aligned}}}
したがって、すべての実数 x について f' (x ) = 0f (x )f (x ) = f (0)
f
(
x
)
=
(
cos
0
+
i
sin
0
)
⋅
e
−
i
⋅
0
=
1
{\displaystyle f(x)=(\cos 0+i\sin 0)\cdot e^{-i\cdot 0}=1}
(5 )
が成り立つ。
(5) (4)
(
cos
x
+
i
sin
x
)
⋅
e
−
i
x
=
1
{\displaystyle (\cos x+i\sin x)\cdot e^{-ix}=1}
が導出される。この両辺に e ix a , b に対して成り立つ指数法則 e a e b e a + b [4]
e
i
x
=
(
cos
x
+
i
sin
x
)
⋅
e
i
x
e
−
i
x
=
(
cos
x
+
i
sin
x
)
⋅
e
(
i
x
−
i
x
)
=
(
cos
x
+
i
sin
x
)
⋅
e
0
=
(
cos
x
+
i
sin
x
)
⋅
1.
{\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=(\cos x+i\sin x)\cdot e^{ix}e^{-ix}\\&=(\cos x+i\sin x)\cdot e^{(ix-ix)}\\&=(\cos x+i\sin x)\cdot e^{0}\\&=(\cos x+i\sin x)\cdot 1.\end{aligned}}}
以上より
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
.
{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.}
微分方程式による証明
証明 — 微分方程式 を用いた証明を示す。x を実数、x の関数 f (x )
f
(
x
)
=
cos
x
+
i
sin
x
.
{\displaystyle f(x)=\cos x+i\sin x.}
また記法を簡潔にするために補助的な方程式
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
によって y を定める。これらをまとめると以下の方程式を得る。
y
=
cos
x
+
i
sin
x
.
{\displaystyle y=\cos x+i\sin x.}
(1 )
(1) x = 0
y
=
cos
0
+
i
sin
0
=
1
{\displaystyle y=\cos 0+i\sin 0=1}
(2 )
を得る。(1) x について微分し、両辺に虚数単位 i を掛けると以下のようになる。
i
d
y
d
x
=
−
i
sin
x
⏟
d
cos
x
d
x
=
−
sin
x
−
cos
x
⏟
d
sin
x
d
x
=
cos
x
{\displaystyle i{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=\underbrace {-i\sin x} _{{\frac {\mathrm {d} \cos x}{\mathrm {d} x}}=-\sin x}-\underbrace {\cos x} _{{\frac {\mathrm {d} \sin x}{\mathrm {d} x}}=\cos x}}
(3 )
(3) (1)
d
y
d
x
=
i
y
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=iy}
(4 )
を得る[注 7] α について、関数 e αx
d
d
(
α
x
)
e
α
x
=
e
α
x
.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} (\alpha x)}}e^{\alpha x}=e^{\alpha x}.}
(5 )
(4) (5) α = i f (0) = 1 より
y
=
e
i
x
{\displaystyle y=e^{ix}}
(6 )
が成り立つ。最後に (1) (6) y を消去すればオイラーの公式が得られる。
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
.
{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.}
2階線型微分方程式による証明
証明 — 線型微分方程式 を用いた証明を示す。実数 x を変数とする関数
{
y
=
e
i
x
y
=
cos
x
y
=
sin
x
{\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle y=e^{ix}\\\displaystyle y=\cos x\\\displaystyle y=\sin x\end{cases}}}
(1 )
はいずれも以下の2階の線型常微分方程式の解である。
d
2
y
d
x
2
+
y
=
0.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{{\mathrm {d} x}^{2}}}+y=0.}
(2 )
(2) 線型結合 として表すことができる。
cos x と sin x は (2) ロンスキー行列式
|
cos
x
sin
x
−
sin
x
cos
x
|
=
cos
2
x
+
sin
2
x
=
1
{\displaystyle {\begin{vmatrix}\cos x&\sin x\\-\sin x&\cos x\end{vmatrix}}=\cos ^{2}x+\sin ^{2}x=1}
は 0 にならない。よって、(1) (2)
e
i
x
=
C
1
cos
x
+
C
2
sin
x
{\displaystyle e^{ix}=C_{1}\cos x+C_{2}\sin x}
(3 )
が成立する。また、(3)
i
e
i
x
=
−
C
1
sin
x
+
C
2
cos
x
{\displaystyle ie^{ix}=-C_{1}\sin x+C_{2}\cos x}
(4 )
となる。(3) (4) x = 0
1
=
C
1
i
=
C
2
{\displaystyle {\begin{aligned}1=C_{1}\\i=C_{2}\end{aligned}}}
(5 )
となるので[注 8] (5) (3) [7]
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
.
{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.}
ロンスキー行列による証明
証明 —
|
W
|
=
|
e
i
x
cos
x
+
i
sin
x
i
e
i
x
−
sin
x
+
i
cos
x
|
=
e
i
x
(
−
sin
x
+
i
cos
x
)
−
e
i
x
(
i
cos
x
−
sin
x
)
=
0
{\displaystyle |W|={\begin{vmatrix}e^{ix}&\cos x+i\sin x\\ie^{ix}&-\sin x+i\cos x\end{vmatrix}}=e^{ix}(-\sin x+i\cos x)-e^{ix}(i\cos x-\sin x)=0}
として cos x + i sin x と e ix C について
e
i
x
=
C
(
cos
x
+
i
sin
x
)
{\displaystyle e^{ix}=C(\cos x+i\sin x)}
が成立する[注 9] x = 0C = 1
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}
が得られる[8]
ド・モアブルの定理による証明
証明 — ド・モアブルの定理 を用いた証明を示す[9]
cos
n
θ
+
i
sin
n
θ
=
(
cos
θ
+
i
sin
θ
)
n
,
cos
n
θ
−
i
sin
n
θ
=
(
cos
θ
−
i
sin
θ
)
n
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos n\theta +i\sin n\theta &=(\cos \theta +i\sin \theta )^{n},\\\cos n\theta -i\sin n\theta &=(\cos \theta -i\sin \theta )^{n}.\end{aligned}}}
辺々加えて
2
cos
n
θ
=
(
cos
θ
+
i
sin
θ
)
n
+
(
cos
θ
−
i
sin
θ
)
n
.
{\displaystyle 2\cos n\theta =(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}+(\cos \theta -i\sin \theta )^{n}.}
右辺の 2 つの項を二項定理 によって展開すれば、i の奇数 乗の項は相殺 し、i の偶数 乗の項だけを二重に加えることになるので
cos
n
θ
=
∑
k
=
0
[
n
2
]
(
−
1
)
k
(
n
2
k
)
(
cos
θ
)
n
−
2
k
(
sin
θ
)
2
k
=
∑
k
=
0
[
n
2
]
(
−
1
)
k
(
n
2
k
)
(
cos
θ
)
n
(
tan
θ
)
2
k
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos n\theta &=\sum _{k=0}^{\left[{\tfrac {n}{2}}\right]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\ (\cos \theta )^{n-2k}(\sin \theta )^{2k}\\&=\sum _{k=0}^{\left[{\tfrac {n}{2}}\right]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\ (\cos \theta )^{n}(\tan \theta )^{2k}\end{aligned}}}
を得る。これが cos θ の n 倍角の公式[s ] は s の整数部分 ）。
この式において nθ = x
cos
x
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
(
n
2
k
)
(
cos
x
n
)
n
(
tan
x
n
)
2
k
.
{\displaystyle \cos x=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\left(\cos {\frac {x}{n}}\right)^{n}\left(\tan {\frac {x}{n}}\right)^{2k}.}
和 の上端を ∞ に書き直したが、k > n /2二項係数 の部分が 0 になるので、これは n / 2 n → ∞極限 においては
cos
x
n
∼
1
,
sin
x
n
∼
x
n
,
tan
x
n
∼
x
n
{\displaystyle \cos {\frac {x}{n}}\sim 1\ ,\ \sin {\frac {x}{n}}\sim {\frac {x}{n}}\ ,\ \tan {\frac {x}{n}}\sim {\frac {x}{n}}}
となり、各項目において漸近的に等しい ことが確認できる。
したがって
(
n
2
k
)
∼
n
2
k
(
2
k
)
!
,
(
cos
x
n
)
n
∼
1
,
(
tan
x
n
)
2
k
∼
x
2
k
n
2
k
{\displaystyle {\binom {n}{2k}}\sim {\frac {n^{2k}}{(2k)!}}\ ,\ \left(\cos {\frac {x}{n}}\right)^{n}\sim 1\ ,\ \left(\tan {\frac {x}{n}}\right)^{2k}\sim {\frac {x^{2k}}{n^{2k}}}}
となる。よって
cos
x
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
(
2
k
)
!
x
2
k
{\displaystyle \cos x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k)!}}x^{2k}}
が得られる。
同様に sin x について考えれば
sin
x
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
(
n
2
k
+
1
)
(
cos
x
n
)
n
(
tan
x
n
)
2
k
+
1
{\displaystyle \sin x=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\left(\cos {\frac {x}{n}}\right)^{n}\left(\tan {\frac {x}{n}}\right)^{2k+1}}
より
sin
x
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
(
2
k
+
1
)
!
x
2
k
+
1
{\displaystyle \sin x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)!}}x^{2k+1}}
が得られる。
ここで、n → ∞
cos
x
n
=
1
+
a
n
{\displaystyle \cos {\frac {x}{n}}=1+a_{n}}
とおけば
(
cos
x
n
)
n
=
(
1
+
a
n
)
n
=
1
+
n
a
n
+
(
n
2
)
a
n
2
+
⋯
{\displaystyle {\begin{aligned}\left(\cos {\frac {x}{n}}\right)^{n}&=\left(1+a_{n}\right)^{n}\\&=1+na_{n}+{\binom {n}{2}}a_{n}^{2}+\dotsb \end{aligned}}}
であるから、an が小さいとき、n 乗すると誤差はおよそ n 倍されるが、an が 1 / n 0 に近づくときには、極限に影響しない。
本議論において
a
n
=
cos
x
n
−
1
=
−
2
sin
2
x
2
n
{\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&=\cos {\frac {x}{n}}-1\\&=-2\sin ^{2}{\frac {x}{2n}}\end{aligned}}}
[注 10] であるから
a
n
∼
−
x
2
2
n
2
{\displaystyle a_{n}\sim -{\frac {x^{2}}{2n^{2}}}}
となる。
したがって、ランダウの記号 を用いて漸近挙動を示せば
cos
x
n
=
1
+
O
(
1
n
2
)
.
{\displaystyle \cos {\frac {x}{n}}=1+O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right).}
ゆえに
lim
n
→
∞
(
cos
x
n
)
n
=
1.
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left(\cos {\frac {x}{n}}\right)^{n}=1.}
ここで、ド・モアブルの定理に立ち返って
cos
n
θ
+
i
sin
n
θ
=
(
cos
θ
+
i
sin
θ
)
n
.
{\displaystyle \cos n\theta +i\sin n\theta =(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}.}
上記式において nθ = x
cos
x
+
i
sin
x
=
(
cos
x
n
+
i
sin
x
n
)
n
.
{\displaystyle \cos x+i\sin x=\left(\cos {\frac {x}{n}}+i\sin {\frac {x}{n}}\right)^{n}.}
ここで、n → ∞
cos
x
n
+
i
sin
x
n
=
1
+
i
x
n
+
O
(
1
n
2
)
{\displaystyle \cos {\frac {x}{n}}+i\sin {\frac {x}{n}}=1+{\frac {ix}{n}}+O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)}
であるから
lim
n
→
∞
(
cos
x
n
+
i
sin
x
n
)
n
=
lim
n
→
∞
(
1
+
i
x
n
)
n
=
e
i
x
.
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left(\cos {\frac {x}{n}}+i\sin {\frac {x}{n}}\right)^{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {ix}{n}}\right)^{n}=e^{ix}.}
よって
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}
が得られる。
関連項目 脚注 参照 注釈
^ 指数関数 e · 累乗 を拡張したもので、複素数 x , y e x y x +y e = e 1 = 2.718281828...自然対数の底 あるいはネイピア数 i は i 2 = i × i = −1cos · および正弦関数 sin · は三角関数の一種である。正弦関数 sin θ は、直角三角形 の斜辺 とその三角形の変数 θ に対応する角度を持つ鋭角 の対辺 （正弦）の長さの比を表す。余弦関数 cos θ はもう一方の鋭角（余角）の対辺と斜辺の長さの比を表す。単位円（半径の長さを 1 とする円）の中心を原点とする直交座標系をとったとき、単位円上の点を表す x , y cos θ , sin θ に等しい（θ は円の中心と円周上の点を結ぶ直線と、x 軸のなす角の大きさに対応する）。exp onentexp x (= e x と表される。また虚数単位には i でなく j を用いることがある。
^ 三角関数の周期性（従って複素指数関数の周期性）により、オイラーの等式が成り立つのは θ = π z について θ = π + 2π z = 2π (z + 1 / 2 e iθ
^ x = 0テイラー展開 をマクローリン展開 (Maclaurin expansion) と呼ぶ。また一般に関数を冪級数 として表すことを冪級数展開と呼ぶ。^ 級数
∑
n
=
0
∞
a
n
x
n
{\displaystyle \scriptstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}
R は、極限
r
=
lim
n
→
∞
|
a
n
a
n
+
1
|
{\displaystyle \scriptstyle r=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|}
R = r e x
lim
n
→
∞
|
1
/
n
!
1
/
(
n
+
1
)
!
|
=
lim
n
→
∞
|
(
n
+
1
)
!
n
!
|
=
lim
n
→
∞
(
n
+
1
)
=
∞
{\displaystyle {\begin{aligned}\scriptstyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {1/n!}{1/(n+1)!}}\right|&\scriptstyle =\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {(n+1)!}{n!}}\right|\\\scriptstyle &\scriptstyle =\lim _{n\to \infty }\left(n+1\right)\\\scriptstyle &\scriptstyle =\infty \end{aligned}}}
cos x の収束半径を求めるには、y = x 2
lim
n
→
∞
|
(
−
1
)
n
/
(
2
n
)
!
(
−
1
)
n
+
1
/
{
2
(
n
+
1
)
}
!
|
=
lim
n
→
∞
{
2
(
n
+
1
)
}
!
(
2
n
)
!
=
lim
n
→
∞
(
2
n
+
2
)
(
2
n
+
1
)
=
∞
{\displaystyle {\begin{aligned}\scriptstyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {(-1)^{n}/(2n)!}{(-1)^{n+1}/\{2(n+1)\}!}}\right|&\scriptstyle =\lim _{n\to \infty }{\frac {\{2(n+1)\}!}{(2n)!}}\\\scriptstyle &\scriptstyle =\lim _{n\to \infty }(2n+2)(2n+1)\\\scriptstyle &\scriptstyle =\infty \end{aligned}}}
y で収束し、したがって任意の x でも収束する。sin x もほぼ同様で、まず
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
+
1
)
!
y
n
{\displaystyle \scriptstyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}y^{n}}
lim
n
→
∞
|
(
−
1
)
n
/
(
2
n
+
1
)
!
(
−
1
)
n
+
1
/
{
2
(
n
+
1
)
+
1
}
!
|
=
lim
n
→
∞
(
2
n
+
3
)
!
(
2
n
+
1
)
!
=
lim
n
→
∞
(
2
n
+
3
)
(
2
n
+
2
)
=
∞
{\displaystyle {\begin{aligned}\scriptstyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {(-1)^{n}/(2n+1)!}{(-1)^{n+1}/\{2(n+1)+1\}!}}\right|&\scriptstyle =\lim _{n\to \infty }{\frac {(2n+3)!}{(2n+1)!}}\\\scriptstyle &\scriptstyle =\lim _{n\to \infty }(2n+3)(2n+2)\\\scriptstyle &\scriptstyle =\infty \end{aligned}}}
y で収束し、y = x 2 x で収束し、それに x をかけた級数（すなわち sin x のマクローリン展開）も任意の x で収束する。
以上で (1) (2) (3) ∞ であることが証明された。
^ 全平面上正則な関数を整関数と言う。なおこれらは多項式でないので超越整関数であり、無限遠点 を真性特異点 に持つ
^ e a + b 二項展開 し、展開した項を改めて整理すれば、指数法則 e a + b e a e b
e
a
+
b
=
∑
n
=
0
∞
(
a
+
b
)
n
n
!
=
∑
n
=
0
∞
1
n
!
∑
r
=
0
n
n
!
r
!
(
n
−
r
)
!
a
r
b
n
−
r
=
∑
n
=
0
∞
∑
r
=
0
n
a
r
b
n
−
r
r
!
(
n
−
r
)
!
=
∑
r
=
0
∞
∑
n
=
r
∞
a
r
b
n
−
r
r
!
(
n
−
r
)
!
=
∑
r
=
0
∞
a
r
r
!
∑
n
=
r
∞
b
n
−
r
(
n
−
r
)
!
=
⏞
m
≡
n
−
r
∑
r
=
0
∞
a
r
r
!
∑
m
=
0
∞
b
m
m
!
=
e
a
e
b
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\scriptstyle e^{a+b}&\scriptstyle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a+b)^{n}}{n!}}\\&\scriptstyle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\sum _{r=0}^{n}{\frac {n!}{r!(n-r)!}}a^{r}b^{n-r}\\&\scriptstyle =\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{r=0}^{n}{\frac {a^{r}b^{n-r}}{r!(n-r)!}}\\&\scriptstyle =\sum _{r=0}^{\infty }\sum _{n=r}^{\infty }{\frac {a^{r}b^{n-r}}{r!(n-r)!}}\\&\scriptstyle =\sum _{r=0}^{\infty }{\frac {a^{r}}{r!}}\sum _{n=r}^{\infty }{\frac {b^{n-r}}{(n-r)!}}\\&\scriptstyle \overbrace {=} ^{m\equiv n-r}\sum _{r=0}^{\infty }{\frac {a^{r}}{r!}}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {b^{m}}{m!}}\\&\scriptstyle =e^{a}e^{b}.\end{aligned}}}
^ i 2 = −1i = −1 / i ^ e 0 = 1sin 0 = 0, cos 0 = 1 を利用した。^ cos x + i sin x は関数として 0 でないので。^ 三角関数の半角公式を利用した。
参考文献
ウィキメディア・コモンズには、
オイラーの公式 に関連するカテゴリがあります。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos n\theta &=\sum _{k=0}^{\left[{\tfrac {n}{2}}\right]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\ (\cos \theta )^{n-2k}(\sin \theta )^{2k}\\&=\sum _{k=0}^{\left[{\tfrac {n}{2}}\right]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\ (\cos \theta )^{n}(\tan \theta )^{2k}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4bcaf620a694b66642398e169491fcf54dfea80)
