宇宙速度

地表から水平に打ち出された砲弾は重力に引かれて地表に落下する (A)。射出速度を上げても第一宇宙速度未満ならいつかは地表に落下する (B)。第一宇宙速度で打ち出された場合は人工衛星となる (C)。それ以上の速度では楕円を描き (D)、第二宇宙速度以上の場合は地球の重力を振り切る (E)（ただし大気の抵抗による影響などは考慮していない）。

宇宙速度（うちゅうそくど）とは、軌道力学的に、地表においてなんらかの物体にある初速度を与えたとして、衛星軌道などの「宇宙飛行」と言えるような軌道に乗せるために必要である速度のことである。特に地球および太陽に対して、第一宇宙速度・第二宇宙速度・第三宇宙速度と呼ばれている速度がある。他の星や星系（恒星、惑星、衛星等）に対して使う場合もある。

第一宇宙速度

地球において、その高度を海抜ゼロ（地表すれすれ）とした（仮想上の）円軌道の衛星軌道の軌道速度で、約 7.9 km/s（時速28,400km）である。地表において水平に、ある物体にある初速度を与えたと仮定した場合、この速度未満だった場合は弾道飛行（sub-orbital flight）の後に地表に戻ってしまう。逆に、これを越えていれば（super-orbital）地表に戻らない何らかの衛星軌道に投入される。

第二宇宙速度（地球脱出速度）

地球の重力を振り切るために必要な、地表における初速度。約 11.2 km/s（時速40,300km）で、第一宇宙速度の${\sqrt {2}}$倍である。地球から打ち上げる宇宙機を、深宇宙探査機などのように太陽を回る人工惑星にするためには第二宇宙速度が必要である。地球の重力圏を脱出するという意味で地球脱出速度とも呼ばれる。

地球以外の任意の星についてや、あるいは「ある高度における脱出速度」といったものも考えられる。特に小惑星などからは簡単に脱出できる。

第三宇宙速度

第二宇宙速度と同様の考え方で地球軌道・地表においてある初速度を与えたとして、地球さらには太陽の重力を振り切るために必要な速度で、約 16.7 km/s（時速60,100km）である。太陽の質量、地球の質量、太陽と地球の距離、地球の半径、万有引力定数から求まる。現実的には地球の公転速度を利用する側に飛び出すか逆かでΔvとしては違ってくる。また、惑星探査機などでは長楕円軌道からスイングバイを利用して加速するものも多い。

よくある誤解

以上の数字は空気抵抗などを考えない、あくまでも「軌道力学上の」ものである。従って実際には仮に地球表面で第一宇宙速度を達成できても、瞬時に空気抵抗で減速してしまい衛星となることはできない（大気の薄い月などでは話が違ってくるが）。また、たとえば第一宇宙速度は「海抜ゼロの地表で」の数字なので、高度100キロ程度まで上昇しつつ加速する実際の人工衛星打ち上げでは、その高度に応じたもう少し小さい速度で軌道速度となるので、厳密には「第一宇宙速度まで加速する」わけではない。

導出

各定数を、

万有引力定数：$G(6.67\times 10^{-11}{\mbox{m}}^{3}{\mbox{s}}^{-2}{\mbox{kg}}^{-1})$

地球質量：$M(5.97\times 10^{24}{\mbox{kg}})$

地球半径：$R(6.36\times 10^{6}{\mbox{m}})$

太陽質量：$M_{S}(1.99\times 10^{30}{\mbox{kg}})$

地球の公転半径：$R_{E}(1.50\times 10^{11}{\mbox{m}})$

とする。

第一宇宙速度

地球の重心を中心として速さ$v$の等速円運動をした時に質量 $m$ の物体に働く遠心力は${\frac {mv^{2}}{R}}$である。このとき物体に働く重力は${\frac {GmM}{R^{2}}}$である。第一宇宙速度 $v_{1}$ は遠心力と重力が釣り合うとして求める。すなわち、${\frac {mv_{1}^{2}}{R}}={\frac {GmM}{R^{2}}}$より、$v_{1}={\sqrt {\frac {GM}{R}}}=7.91\times 10^{3}{\mbox{m/s}}=7.91{\mbox{km/s}}$ である。

Googleで天体の半径などの天文学の定数が検索可能で、sqrt(Xの質量*万有引力定数/Xの半径)でvを求めることができる（Xはそれぞれの天体名）。

第二宇宙速度

地球から無限遠を基準とすると、質量 $m$ の物体の地球表面における地球重力によって生じる位置エネルギーは、 $U=-\int _{\infty }^{R}\left(-{\frac {GMm}{r^{2}}}\right)dr=-{\frac {GMm}{R}}$と表される。この物体に、負の位置エネルギーを打ち消す速さ $v_{2}$ の運動エネルギー ${\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}$ を与えれば無限遠に達する、即ち地球の重力圏から脱出することができるとして求める。すなわち、${\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-{\frac {GMm}{R}}=0$より、$v_{2}={\sqrt {\frac {2GM}{R}}}={\sqrt {2}}v_{1}=11.2{\mbox{km/s}}$ となる。なお、地球の自転速度は小さいのでここでは無視している。

第三宇宙速度

第二宇宙速度と同様に、地球公転軌道近辺における太陽からの脱出速度は、$v_{S}={\sqrt {\frac {2GM_{S}}{R_{E}}}}=42.1{\mbox{km/s}}$ である。ただし、これは太陽から見た速さなので、地球からの場合、地球の公転運動を差し引かなければならない。地球の公転速度$v_{E}$は地球の公転による遠心力と太陽と地球の引力が釣り合うという関係から求めることができるので、$v_{E}={\sqrt {\frac {GM_{S}}{R_{E}}}}=29.8{\mbox{km/s}}$である。したがって地球公転軌道からの脱出速度は $v_{E0}=v_{S}-v_{E}=12.3{\mbox{km/s}}$である。地表から打ち上げる場合には地球の重力を振り切る分だけ速くする必要がある。これは地表での位置エネルギーを打ち消した後に$v_{E0}$の速度になればよいということなので、質量 $m$ の物体の場合に${\frac {1}{2}}mv_{3}^{2}-{\frac {GMm}{R}}={\frac {1}{2}}mv_{E0}^{2}$という関係が成り立つ。したがって、$v_{3}={\sqrt {{\frac {2GM}{R}}+v_{E0}^{2}}}=16.7{\mbox{km/s}}$ である。

精度

以上の値は、星を球・公転軌道を円として計算したものである。実際には、地球の赤道半径と極半径の差は約：$2\times 10^{4}{\mbox{m}}$（平均半径の0.3%）、地球の近日点と遠日点の差は約：$5\times 10^{9}{\mbox{m}}$（同3%）といったズレがあるので、3桁目以降の正確な値を求めるには、これらを考慮する必要がある。

関連項目

• 人工衛星の軌道
• スイングバイ