アーベル拡大

抽象代数学では、ガロア群がアーベル群となるようなガロア拡大のことをアーベル拡大(abelian extension)と言う。ガロア群が巡回群のときは、巡回拡大(cyclic extension)という。ガロア拡大が可解(solvable)とは、ガロア群が可解群、つまり中間拡大に対応する一連のアーベル群の列からガロア群が構成されるときを言う。

有限体の全ての有限拡大は、巡回拡大である。類体論の発展は、数体と局所体と、有限体上の代数曲線の函数体のアーベル拡大への詳細情報をもたらした。

円分拡大には 2つの点で少し異なる概念がある。円分拡大の可能性のひとつは 1のべき根による拡大であり、もうひとつは 1のべき根による拡大の部分拡大として作られた拡大である。円分体が例であり、任意の円分拡大は定義によりアーベル拡大である。

体 K が原始的 n-番目のべき根を持ち K の元の n-番目の根と結合させるたとき、クンマー拡大(Kummer extension)といい、アーベル拡大となる。（ K の標数を p とすると、p は n を割らないとの前提を入れねばならない。もし割るようであれば、分離拡大(separable extension)も失敗するからである。）しかしながら、一般に、元の n-番目の根のガロア群は、n-番目の根も単位の根も双方に作用し、半直積(semi-direct product)として非アーベル的ガロア群を構成する。クンマー理論(Kummer theory)は、アーベル拡大を完全に記述する。クロネッカー・ウェーバーの定理は、K が有理数体のとき、拡大がアーベル的であるということと、拡大が単位の根を代数的に結合した値とする体の部分体であることとは同値であると言う定理である。

トポロジーでは基本群の重要な類似があり、全ての被覆空間を分類する。すなわち、第一ホモロジー群に直接関連付けられるアーベル化により、アーベル被覆が分類される。

参考文献

• Kuz'min, L.V. (2001), “cyclotomic extension”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://eom.springer.de/C/c027560.htm