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2013年11月7日 (木) 09:09時点における版

ホモロジカルミラー対称性は、マキシム・コンツェビッチにより予想された数学の予想である。物理学者が弦理論を研究することにより、初めて観察されたミラー対称性 (弦理論)と呼ばれる現象の数学的、系統的な説明が求められている。

歴史

1994年のチューリッヒでの国際数学者会議の報告で、コンツェビッチは次のような予想をした。

カラビ-ヤウ多様体のペア X と Y のミラー対称性は、代数多様体 X から構成された三角圏（英語版） (X 上の連接層の導来圏)と、もう一つの Y のシンプレクティック多様体から構成される三角圏(深谷圏（英語版）)の同値性として説明されるのではないか。

エドワード・ウィッテンは、最初に N = (2,2) の超対称性場の理論を位相的ツイストすることで、位相的弦理論のAモデルとBモデルと呼ばれるモデルを記述した。これらのモデルは、リーマン面から普通はカラビ-ヤウ多様体である固定された対象空間上への写像に関係する。数学でのミラー対称性予想の多くは、Y 上のA-モデルと X 上のB-モデルの物理的な同値関係と見なせる。リーマン面が境界を持たない場合は、ワールドシートが閉じた弦を表す。開いた弦については、超対称性を保存する境界条件を導入する必要がある。A-モデルでは、この境界条件として追加された構造（ブレーン構造と言う）を持った Y 上のラグランラジアン部分多様体（英語版）から導出される。B-モデルは、境界条件として X の上の正則（もしくは代数的）べクトルバンドルを持つ部分多様体から導出される。これらは適当な圏を形成する対象で、AブレーンやBブレーンということもある。圏のモルフィズムは2つのブレーンの間に張られた開いた弦の無質量なスペクトルにより与えられる。

A-モデルとB-モデルの閉じた弦は、単純に弦理論の全体の一部（トポロジカルセクター）と考えられ、また同様に、これらのモデルのブレーン構造は、Dブレーンという力学的対象全体の位相的な近似と考えられる。しかし、弦理論のこの部分から出てくる数学的結果は深く、また難しい問題である。

例

この予想を数学者が証明している例は、数がさほど多くない。コンツェビッチがセミナーで、ホモロジカルミラー対称性予想を、楕円曲線の場合にはテータ函数を使うことで証明できるであろうと指摘した。この指摘に従い、アレクサンダー・ポリスチュック（英語版）とエリック・ザスロフ（英語版）は、楕円曲線についてのこの予想の証明をした。深谷賢治は、アーベル多様体についてのこの予想を証明する要素のいくつかを確立した。その後、ヤン・ソイベルマン（英語版）は、SYZ予想からのアイデアを使い、アフィン多様体上の非特異なトーラスバンドル（英語版）についての予想の大半を証明した。2003年に、ポール・ザイデル（英語版）は、四次曲面（英語版）の場合の予想を証明した。Hausel & Thaddeus (2002)は、SYZ予想の素描を、ヒッチン系とラングランズ双対性の脈絡で説明した。

ホッジダイアモンド

下の図のダイアモンドは、「ホッジダイアモンド」と呼ばれ、(p,q)-微分形式の空間の次元 h^p,q の座標を (p,q) として並べたもので、ダイアモンドの形となる。p = 0,1,2,3, q = 0,1,2,3 つまり、3-次元の場合には、

                      h^3,3
                h^3,2         h^2,3
          h^3,1         h^2,2          h^1,3        
    h^3,0         h^2,1         h^1,2          h^0,3
          h^2,0         h^1,1          h^0,2
                h^1,0         h^0,1
                      h^0,0

となる．ミラー対称性では、元の多様体上の (p,q)-微分形式の空間の次元 h^p,q とすると、ミラー対称である相手の多様体上の (p,q)-微分形式の空間の次元は h^n-p,q となる．すなわち、全てのカラビ・ヤウ多様体に対して、ホッジダイアモンドは π の回転しても変わらなく、ミラー対称であるカラビ・ヤウ多様体のホッジダイアモンドは π/2 の回転で入れ替わる。

1-次元カラビ・ヤウ多様体と見なすことのできる楕円曲線の場合には、ホッジダイアモンドは非常に簡単で、次のようになる。

          1
     1         1
          1

K3曲面の場合には、2-次元のカラビ・ヤウ多様体と見なすことができるが、ベッチ数が、{1, 0, 22, 0, 1}であるから、K3曲面のホッジダイアモンドは次の図のようになる。

                1
          0          0
     1         20         1
          0          0
                1

ところで、3-次元の場合（この場合を通常はカラビ・ヤウ多様体と呼ぶ）には、面白いことが起きる。ホッジダイアモンドが対角線（斜め線）を中心線として対称なホッジ数を持つペア M と W が存在することがある。

M のダイアモンド:

                   1
             0          0
        0          a         0
   1         b          b         1
        0          a         0
             0          0
                   1

W のダイアモンド:

                   1
             0          0
        0          b         0
   1         a          a         1
        0          b         0
             0          0
                   1

この場合には、M と W は弦理論のA-モデルとB-モデルに対応する。なお、ミラー対称性は、ホモロジカルな次元を入れ替えるだけでなく、ミラーペアの上のシンプレクティック構造と複素構造を入れ替える。

1990-1991年に、Philip Candelas, Xenia C. de la Ossa, and Paul S. Green et al. (1991) は、数え上げ代数幾何学のみならず、数学全体へ大きな影響をもち、Kontsevich (1994)への動機ともなった。この論文の中のクインティックスリーフォールドのホッジダイアモンドは、次の 2つのホッジダイアモンドとなる。

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             0          0                                           0         0
        0          1         0                                 0        101        0
   1        101        101        1                        1        1         1        1
        0          1         0                                 0        101        0
             0          0                                           0         0
                   1                                                     1

参考文献

Candelas, Philip; de la Ossa, Xenia C.; Green, Paul S.; Parkes, Linda (1991), “A pair of Calabi-Yau manifolds as an exactly soluble superconformal theory”, Nuclear Physics. B 359 (1): 21–74, doi:10.1016/0550-3213(91)90292-6, ISSN 0550-3213, MR1115626
Kontsevich, Maxim (1994), Homological algebra of mirror symmetry, arXiv:alg-geom/9411018
Kontsevich, Maxim; Soibelman, Yan (2000), Homological Mirror Symmetry and torus fibrations, arXiv:math.SG/0011041
Seidel, Paul (2003), Homological mirror symmetry for the quartic surface, arXiv:math.SG/0310414
深谷, 賢治 (1999), シンプレクティック幾何学
Hausel, Tamas; Thaddeus, Michael (2002), Mirror symmetry, Langlands duality, and the Hitchin system, arXiv:math.DG/0205236

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 この予想を数学者が証明している例は、数がさほど多くない。コンツェビッチがセミナーで、ホモロジカルミラー対称性予想を、[[楕円曲線]]の場合には[[テータ函数]]を使うことで証明できるであろうと指摘した。この指摘に従い、{{仮リンク|アレクサンダー・ポリスチュック|en|Alexander Polishchuk}}と{{仮リンク|エリック・ザスロフ|en|Eric Zaslow}}は、楕円曲線についてのこの予想の証明をした。[[深谷賢治]]は、[[アーベル多様体]]についてのこの予想を証明する要素のいくつかを確立した。その後、{{仮リンク|ヤン・ソイベルマン|en|Yan Soibelman}}は、{{仮リンク|SYZ予想|en|SYZ conjecture}}からのアイデアを使い、[[代数多様体#アフィン代数多様体の座標環とヒルベルトの零点定理|アフィン多様体]]上の非特異な{{仮リンク|トーラスバンドル|en|torus bundle}}についての予想の大半を証明した。2003年に、{{仮リンク|ポール・ザイデル|en|Paul Seidel}}は、{{仮リンク|四次曲面|en|quartic surface}}の場合の予想を証明した。{{harvtxt|Hausel|Thaddeus|2002}}は、SYZ予想の素描を、[[ヒッチン系]]と[[ラングランズ・プログラム|ラングランズ双対性]]の脈絡で説明した。
-== ホッジ(Hodge)ダイアモンド ==
+== ホッジダイアモンド ==
 下の図のダイアモンドは、「ホッジダイアモンド」と呼ばれ、(p,q)-[[微分形式]]の空間の次元 h<sup>p,q</sup> の座標を (p,q) として並べたもので、ダイアモンドの形となる。p = 0,1,2,3, q = 0,1,2,3 つまり、3-次元の場合には、

2013年11月7日 (木) 09:09時点における版

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例

ホッジダイアモンド

関連事項

参考文献