ダランベールの収束判定法

ダランベールの収束判定法(―のしゅうそくはんていほう、ratio test) とは、実数や複素数を項にもつ級数が、収束するか発散するかを判定する方法である。級数における、前後の項の比を考える。もし、この比の極限が 1 未満であれば、級数は絶対収束する。

この判定法は、ジャン・ル・ロン・ダランベールによって発表された。

判定法

厳密には、ダランベールの収束判定法は、次のように述べられる。

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<1$

であれば、級数

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$

は絶対収束する。また、

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|>1$

であれば、級数は発散する。

もし、極限がちょうど 1 であれば、級数は収束する場合もあるし、発散する場合もある。従って、この場合は、ダランベールの収束判定法ではどちらとも言えない。

例

収束する場合

次の級数を考える。

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{e^{n}}}$

これに、ダランベールの収束判定法を適用すると、

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|$	=$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {n+1}{e^{n+1}}}{\frac {n}{e^{n}}}}\right|$
	=$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {n+1}{e^{n+1}}}\cdot {\frac {e^{n}}{n}}\right|$
	=$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {n+1}{n}}\cdot {\frac {e^{n}}{e^{n}\cdot e}}\right|$
	=$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|(1+{\frac {1}{n}})\cdot {\frac {1}{e}}\right|$
	=$1\cdot {\frac {1}{e}}$
	=${\frac {1}{e}}(<1)$

従って、${\frac {1}{e}}$ は 1 より小さいため、級数は収束する。

発散する場合

次の級数を考える。

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{n}}{n}}$

これに、ダランベールの収束判定法を適用すると、

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|$	=$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {e^{n+1}}{n+1}}{\frac {e^{n}}{n}}}\right|$
	=$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {e^{n+1}}{n+1}}\cdot {\frac {n}{e^{n}}}\right|$
	=$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {n}{n+1}}\cdot {\frac {e^{n}\cdot e}{e^{n}}}\right|$
	=$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|(1-{\frac {1}{n+1}})\cdot e\right|$
	=$1\cdot e$
	=$\!\,e(>1)$

従って、e は 1 より大きいため、級数は発散する。

どちらとも言えない場合

もし、級数が

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=1$

を満たす場合、ダランベールの判定条件から、収束するか発散するかを推定することは不可能である。

例えば、級数

$\sum _{n=1}^{\infty }1$

は発散し、

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {1}{1}}\right|=1.$

である。一方で、

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$

は絶対収束するが、

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {1}{(n+1)^{2}}}{\frac {1}{n^{2}}}}\right|=1.$

である。最後に、

$\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1}{n}}$

は条件収束するが、

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {(-1)^{n+1}}{(n+1)}}{\frac {(-1)^{n}}{n}}}\right|=1.$

である。

どちらとも言えない場合には

以上の例で見たとおり、比の極限が 1 である場合は、ダランベールの収束判定法ではどちらとも言えない。しかし、ラーベによるダランベールの判定条件の拡張（ラーベの収束判定法）では、このような場合を扱うことも考慮に入れることができる。ラーベのテストは、次のように述べられる。もし、

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=1$

で、かつ正数 c が存在して

$\lim _{n\rightarrow \infty }\,n\left(\,\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|-1\right)=-1-c$

を満たす場合、級数は絶対収束する。

関連記事

• コーシーの収束判定法
• 収束半径

参考文献

• Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.3, 5.4) ISBN 0486601536

• Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 2.36, 2.37) ISBN 0521588073