「ベータ分布」の版間の差分
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|母数=α > 0 形状母数<br />β > 0 形状母数 |
|母数=α > 0 形状母数<br />β > 0 形状母数 |
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|台=<math>x \in [0; 1]\!</math> |
|台=<math>x \in [0; 1]\!</math> |
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|確率関数=<math>\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}} {\mathrm{B}(\alpha,\beta)}\!</math> |
|確率関数=<math>\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}} {\mathrm{B}(\alpha,\beta)}\!</math><br />(B(・,・)は[[ベータ関数]]) |
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|分布関数=<math>I_x(\alpha,\beta)\!</math> |
|分布関数=<math>I_x(\alpha,\beta)\!</math> |
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|期待値=<math>\operatorname{E}[X] = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}\!</math><br /><math>\operatorname{E}[\ln X] = \psi(\alpha) - \psi(\alpha + \beta)\!</math><br />(ψは[[ディガンマ関数]]) |
|期待値=<math>\operatorname{E}[X] = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}\!</math><br /><math>\operatorname{E}[\ln X] = \psi(\alpha) - \psi(\alpha + \beta)\!</math><br />(ψ(・)は[[ディガンマ関数]]) |
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|中央値=<math>\begin{matrix}I_{\frac{1}{2}}^{[-1]}(\alpha,\beta)\text{ (in general) }\\[0.5em] |
|中央値=<math>\begin{matrix}I_{\frac{1}{2}}^{[-1]}(\alpha,\beta)\text{ (in general) }\\[0.5em] |
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\approx \frac{ \alpha - \tfrac{1}{3} }{ \alpha + \beta - \tfrac{2}{3} }\text{ for }\alpha>1, \beta>1\end{matrix}</math> |
\approx \frac{ \alpha - \tfrac{1}{3} }{ \alpha + \beta - \tfrac{2}{3} }\text{ for }\alpha>1, \beta>1\end{matrix}</math> |
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|最頻値=<math>\frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\!</math> for α, β >1 |
|最頻値=<math>\frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\!</math> for α, β >1 |
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|分散=<math>\operatorname{var}[X] = \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\!</math><br /><math>\operatorname{var}[\ln X] = \psi_1(\alpha) - \psi_1(\alpha + \beta)\!</math><br />(ψ<sub>1</sub>は[[ポリガンマ関数|トリガンマ関数]]) |
|分散=<math>\operatorname{var}[X] = \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\!</math><br /><math>\operatorname{var}[\ln X] = \psi_1(\alpha) - \psi_1(\alpha + \beta)\!</math><br />(ψ<sub>1</sub>(・)は[[ポリガンマ関数|トリガンマ関数]]) |
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|歪度=<math>\frac{2\,(\beta-\alpha)\sqrt{\alpha+\beta+1}}{(\alpha+\beta+2)\sqrt{\alpha\beta}}</math> |
|歪度=<math>\frac{2\,(\beta-\alpha)\sqrt{\alpha+\beta+1}}{(\alpha+\beta+2)\sqrt{\alpha\beta}}</math> |
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|尖度=<math>\frac{6[(\alpha - \beta)^2 (\alpha +\beta + 1) - \alpha \beta (\alpha + \beta + 2)]}{\alpha \beta (\alpha + \beta + 2) (\alpha + \beta + 3)}</math> |
|尖度=<math>\frac{6[(\alpha - \beta)^2 (\alpha +\beta + 1) - \alpha \beta (\alpha + \beta + 2)]}{\alpha \beta (\alpha + \beta + 2) (\alpha + \beta + 3)}</math> |
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2013年1月31日 (木) 09:15時点における版
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確率密度関数  | |
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累積分布関数  | |
| 母数 |
α > 0 形状母数 β > 0 形状母数 |
|---|---|
| 台 | |
| 確率密度関数 |
(B(・,・)はベータ関数) |
| 累積分布関数 | |
| 期待値 |
(ψ(・)はディガンマ関数) |
| 中央値 | |
| 最頻値 | for α, β >1 |
| 分散 |
(ψ1(・)はトリガンマ関数) |
| 歪度 | |
| 尖度 | |
| エントロピー | |
| モーメント母関数 | |
| 特性関数 | (see Confluent hypergeometric function) |
![{\displaystyle x\in [0;1]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/394f69db847ba283727b0bc73bccc019572a72ae)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3905662ceed484cba5580951e29eda96f4d2605e)
![{\displaystyle \operatorname {E} [\ln X]=\psi (\alpha )-\psi (\alpha +\beta )\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de67df996fa33237ab7f415e7edc9fa8e71997a0)
![{\displaystyle {\begin{matrix}I_{\frac {1}{2}}^{[-1]}(\alpha ,\beta ){\text{ (in general) }}\\[0.5em]\approx {\frac {\alpha -{\tfrac {1}{3}}}{\alpha +\beta -{\tfrac {2}{3}}}}{\text{ for }}\alpha >1,\beta >1\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95fbc357f58aebdd596bae4f24765d02e370febd)
![{\displaystyle \operatorname {var} [X]={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f90a6ad61b4b436749ca37a6c2a1aa077b032ce3)
![{\displaystyle \operatorname {var} [\ln X]=\psi _{1}(\alpha )-\psi _{1}(\alpha +\beta )\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4941f45412823abd34d3befea7f8fbf544135e4)
![{\displaystyle {\frac {6[(\alpha -\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)-\alpha \beta (\alpha +\beta +2)]}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eea65a8d7c9e00ba6299b727eab679117776f41e)
![{\displaystyle {\begin{matrix}\ln \mathrm {B} (\alpha ,\beta )-(\alpha -1)\psi (\alpha )-(\beta -1)\psi (\beta )\\[0.5em]+(\alpha +\beta -2)\psi (\alpha +\beta )\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c89e36ccbf7522eba17d6e5ddb267e7cef46b8e)
ベータ分布（ベータぶんぷ）は、連続型の確率分布であり、第1種および第2種がある。
第1種ベータ分布
第1種ベータ分布を単に「ベータ分布」と呼ぶ場合もある。その確率密度関数は以下で定義される。
ここではベータ関数であり、確率変数の取る値は、パラメータはともに正の実数である。期待値は 、分散は である。
第2種ベータ分布
確率変数が第1種ベータ分布にしたがうとき、のしたがう分布を第2種ベータ分布と呼ぶ。その確率密度関数は以下で定義される。
参考文献
- 蓑谷千凰彦, 統計分布ハンドブック, 朝倉書店 (2003).
- B. S. Everitt (清水良一訳), 統計科学辞典, 朝倉書店 (2002).
関連項目
外部リンク
| 離散単変量で 有限台 | |
|---|---|
| 離散単変量で 無限台 | |
| 連続単変量で 有界区間に台を持つ | |
| 連続単変量で 半無限区間に台を持つ |
|
| 連続単変量で 実数直線全体に台を持つ | |
| 連続単変量で タイプの変わる台を持つ | |
| 混連続-離散単変量 | |
| 多変量 (結合) | |
| 方向 |
|
| 退化と特異 |
|
| 族 | |
| サンプリング法 | |
