ブラ-ケット記法

ブラ-ケット記法（ブラ-ケットきほう、英: bra-ket notation）は量子力学における量子状態を記述するための標準的な記法である。

この名称は、二つの状態の内積がブラケットを用いて $\langle \phi |\psi \rangle$ のように表され、さらに左半分 $\langle \phi |$ をブラベクトル、右半分 $|\psi \rangle$ をケットベクトルと呼ぶことによる。この記法はポール・ディラックによって発明され、ディラックの記法としても有名である。

正規直交基底とブラケット記法

正規直交基底のうちのふたつのラベルをα,βとして、内積をブラケット記法で表すと

$\langle \alpha |\beta \rangle =\delta _{\alpha \beta }$

となる。 (基底が連続的である場合は $\delta _{\alpha \beta }\to \delta (\alpha -\beta )$ のようにデルタ関数に置き換える。)

また正規直交基底の完全性は

$\sum _{\alpha }|\alpha \rangle \langle \alpha |=1$

と表現される。(基底が連続的である場合は $\sum _{\alpha }\to \int d\alpha$ のように積分に置き換える。)

第二量子化とブラケット記法

第二量子化された粒子生成演算子$a^{\dagger }$を用いて2粒子状態を

$|\alpha \beta \rangle =a_{\alpha }^{\dagger }a_{\beta }^{\dagger }|0\rangle$

と定義する。この時、もし演算子$a^{\dagger }$がフェルミオンを表す演算子である場合、これらは反交換関係$\{a_{\alpha }^{\dagger },a_{\beta }^{\dagger }\}=0$を満たすので、

$|\alpha \beta \rangle =a_{\alpha }^{\dagger }a_{\beta }^{\dagger }|0\rangle =-a_{\beta }^{\dagger }a_{\alpha }^{\dagger }|0\rangle =-|\beta \alpha \rangle$

となり、反対称化されていることがわかる。

また、もし演算子$a^{\dagger }$がボゾンを表す演算子である場合、これらは交換関係$[a_{\alpha }^{\dagger },a_{\beta }^{\dagger }]=0$を満たすので、

$|\alpha \beta \rangle =a_{\alpha }^{\dagger }a_{\beta }^{\dagger }|0\rangle =a_{\beta }^{\dagger }a_{\alpha }^{\dagger }|0\rangle =|\beta \alpha \rangle$

となり、対称化されていることがわかる。