窓関数

窓関数（まどかんすう、英: window function）とは、ある有限区間以外で0となる関数である。 ある関数や信号（データ）に窓関数が掛け合わせられると、区間外は0になり、有限区間内だけが残るので、数値解析が容易になる。 窓関数は、スペクトル分析、フィルタ・デザインや、音声圧縮に応用される。 窓関数を単に窓 (window) ともいい、データに窓関数を掛け合わせることを窓を掛ける (windowing) という。

窓関数の意味

フーリエ変換は、区分的に $C^{1}\,$ 級な任意の関数 $f(x)\,$ を、三角関数（あるいは指数関数）の線形結合で表す。 なお、$f\,$ のフーリエ変換を ${\mathfrak {F}}f$ で表す。

フーリエ変換では、関数 $f(x)\,$ も三角関数も、無限区間 $(-\infty ,\infty )$ で定義されている。 しかし、実データを数値的にフーリエ変換するなら、無限の長さは扱えないので、有限区間 $[a,b]\,$ でフーリエ変換をおこない、区間外は無視することになる。 これは、関数 $f(x)\,$ を区間外で0とみなすことに等しい（「区間内のデータを周期的に繰り返す」という表現をすることもあるが、DFT（離散フーリエ変換）の場合はこの2つは等価である）。

つまり、関数 $f(x)\,$ と関数

$w(x)={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}a\leq x\leq b\\0,&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}$

の積 $(wf)(x)=w(x)f(x)\,$ を求め、そのフーリエ変換 ${\mathfrak {F}}(wf)$ を、${\mathfrak {F}}f$ の代わりに得ていることになる。 このとき掛け合わせた関数 $w(x)\,$ が窓関数である。

ここで定義した窓関数 $w(x)\,$ （矩形窓という）でなくても、有限区間外が0で区間内が有界な関数ならば、窓関数として使える。 そこで、さまざまな窓関数が考案されている。 実際、上の矩形窓はあまり性能がよくない。それは、$x=a,b\,$ にいちじるしい不連続があるからである。 実際に使われる窓関数のほとんどは、両端が滑らかに小さくなり区間外の0につながる、山形の関数である。

窓関数の性能

矩形窓のパワー・スペクトル

メインローブ及びサイドローブ

窓関数を使って求めたスペクトル ${\mathfrak {F}}(wf)$ と、本来のスペクトル ${\mathfrak {F}}f$ は、もちろん同じではない。 積のフーリエ変換はフーリエ変換の畳み込み、つまり、

${\mathfrak {F}}(wf)={\mathfrak {F}}w*{\mathfrak {F}}f$

である。 余分な ${\mathfrak {F}}w$ が畳み込まれることによって、フーリエ変換の結果は変化するが、この変化は望ましいものではない。

一般に ${\mathfrak {F}}w$ は、中心が絶対値が大きく、両側に離れるにつれ小さくなるが、0になることはない（$w(x)\,$ が有限区間外で0ならば、常にそうなる）。 ただし、単峰性ではなく、図のように、無数の峰を持つ。 各々の峰をローブといい、中央のいちばん大きいローブをメインローブ、他をサイドローブという。このような ${\mathfrak {F}}w$ が畳み込まれることにより、スペクトルは、ピークがなまり（周波数分解能が下がり）、ノイズ・フロアが上がる（ダイナミック・レンジが狭まる）ことになる。

窓関数には、

1. メインローブが狭い（周波数分解能が良い）
2. サイドローブが低い（ダイナミックレンジが広い）

という2つの特長が要求される。 しかし、この2つはトレード・オフの関係にあり、両立させるには限界がある。 そのため、ある状況では最適だった窓関数が、別の状況ではそうではないということも起こる。

窓関数の応用

フーリエ変換に限らず、DCT（離散コサイン変換）や連続ウェーブレット変換でも、窓関数を使う。

とりわけ、近年、音声圧縮などに使われるMDCT（修正離散コサイン変換）のための窓関数は、プリンセン‐ブラッドリー条件 (Princen-Bradley condition) という、他の用途では要求されない性質が必要なこともあり、独特なものが新しく登場している。 なお、プリンセン‐ブラッドリー条件を満たす窓関数を、MDCT窓、プリンセン‐ブラッドリー窓などという。

スペクトル分析に限らず、無限系列を有限系列に断ち切らなければならない状況では、窓関数が使われる。たとえば、IIR（無限インパルス応答フィルタ）をFIR（有限インパルス応答フィルタ）で実現するときなどである。

変わった応用では、窓関数を掛けるのではなく、畳み込むという手法がある。 ${\mathfrak {F}}(w*f)={\mathfrak {F}}w{\mathfrak {F}}f$（畳み込みのフーリエ変換はフーリエ変換の積）なので、窓関数がデジタル・フィルタとして働くことになる。

窓関数の例

特に断らない限り、区間を $[0,1]\,$ にとり、$\max _{x}w(x)=1\,$ と正規化した式を書く。 区間を $[-1,1]\,$ にとる資料もある。 $w(x)=0\,$ となる場合分けは省略した。$w(x)=0,{\mbox{ otherwise}}\,$ を適宜おぎなって読んでほしい。

離散化するには、$k=0,\ldots ,N-1$ に対して、$x=k/(N-1)\,$ と、$x=(k+0.5)/N\,$ の2種類の方法があるが、特殊な用途を除き、どちらでも大差はない。また、初めから $k\,$ に対する関数 $w(k)\,$ や系列 $w_{k}\,$ を表す資料もあるので、注意してほしい。

グラフは、$x=k/(N-1)\,$ と離散化したときの、窓関数自身と、DFTで求めたパワースペクトルである。

代表的な窓関数

矩形窓

矩形窓

rectangular window。方形窓とも。

単に有限長のデータを用意しただけのとき、暗黙のうちにこの窓関数を使っている。理論上、周波数分解能は最も良い。

• $w(x)=1,\ {\mbox{if }}0\leq x\leq 1$
  

ガウス窓

ガウス窓

Gauss window。ガウシアン窓 (Gaussian window) とも。

理論上、最も高性能な窓関数だが、コンパクト・サポートでない（有界区間の両端で0にならない）ので、実際には使えない。使うときは、適当な区間の外を0にする必要がある。主に、ガボール変換 (Gabor transform)や連続ウェーブレット変換で使われる。

• $w(x)=\exp \left(-{\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}\right)$
  

ハン窓

ハン窓

hann window（hannは人名由来だが、慣習的に小文字で書く）。フォンハン窓 (von Hann window)、2乗余弦窓、raised cosine windowとも。ユリウス・フォン・ハンが考案した。ハミング窓との連想から「ハニング窓」と呼ばれる例がある。

最もよく使われる窓関数の一つ。

• $w(x)=0.5-0.5\cos 2\pi x,\ {\mbox{if }}0\leq x\leq 1$
  

ハミング窓

ハミング窓

hamming window（hammingは人名だが、慣習的に小文字で書く）。ハン窓の改良版として、リチャード・ハミングが考案した。

ハン窓と並び、最もよく使われる窓関数の一つ。ハン窓より周波数分解能が良く、ダイナミック・レンジが狭い。区間の両端で不連続なのが特徴。

• $w(x)=0.54-0.46\cos 2\pi x,\ {\mbox{if }}0\leq x\leq 1$
  

ブラックマン窓

ブラックマン窓

Blackman window。ラルフ・ブラックマンが考案した。

ハン窓/ハミング窓より、周波数分解能が悪く、ダイナミック・レンジが広い。この種のフィルタの中では、最もよく使われる。

• $w(x)=0.42-0.5\cos 2\pi x+0.08\cos 4\pi x,\ {\mbox{if }}0\leq x\leq 1$
  

カイザー窓

カイザー窓、$\alpha =2\,$

カイザー窓、$\alpha =3\,$

Kaiser window。カイザー‐ベッセル窓 (Kaiser‐Bessel window) ともいうが、後述のカイザー‐ベッセル派生窓と紛らわしい。J・F・カイザーが考案した。

実数パラメタ $\alpha \geq 0\,$ を持つ（ $\beta =\pi \alpha \,$ をパラメタとすることもある）。$\alpha \,$ が大きいほど、ダイナミックレンジは広く、周波数分解能は悪くなる。2つの性能を連続的にトレード・オフできるのが特長である。周波数分解能はおおよそ ${\sqrt {\alpha }}$ に反比例する。

$\alpha =0\,$ では矩形窓と同じ。$\alpha =1.5\,$ ではハミニング窓に、$\alpha =2\,$ ではハン窓に、$\alpha =3\,$ ではブラックマン窓に似た形になる。

詳細は「カイザー窓」を参照

• $w(x)={\frac {I_{0}\left\{\pi \alpha {\sqrt {1-(2x-1)^{2}}}\right\}}{I_{0}(\pi \alpha )}},\ {\mbox{if }}0\leq k\leq 1$

ただし、$I_{0}\,$ は第1種の0次の変形ベッセル関数。

バートレット窓

バートレット窓

Bartlett window。三角窓 (triangular window) とも。

教科書には必ず出てくるが、実際に使うことは少ない。

• $w(x)=1-2|x-0.5|,\ {\mbox{if }}0\leq x\leq 1$
  

指数窓

exponential window。

減衰積分をおこなうとき、暗黙のうちにこの窓関数を使っている。コンパクト・サポートでないので、実際に使うときは適当な区間の外を0にする。左右非対称なので、エコー検出など、時間非対称な問題に使う。

• $w(x)=\exp {\frac {x}{T}},\ {\mbox{if }}x\leq 0$

その他の窓関数

一般化ハミング窓

ハン窓とハミング窓の一般化。実数パラメタ $a,\ 0.5\leq a\leq 1$ を持ち、$a=0.5\,$ でハン窓、$a=0.54\,$ でハミング窓、$a=1\,$ で矩形窓になる。

• $w(x)=a-(1-a)\cos 2\pi x,\ {\mbox{if }}0\leq x\leq 1$

バートレット‐ハン窓

バートレット‐ハン窓

Bartlett‐Hann window。修正バートレット‐ハン窓 (modified Bartlett‐Hann window) とも。

バートレット窓とハン窓の線形混合。異なる比率のものを使うこともある。

• $w(x)=0.62-0.48|x-0.5|-0.38\cos 2\pi x,\ {\mbox{if }}0\leq x\leq 1$
  

ナットール窓

ナットール窓

Nuttall window。

• $w(x)=0.355768-0.487396\cos 2\pi x+0.144232\cos 4\pi x-0.012604\cos 6\pi x,\ {\mbox{if }}0\leq x\leq 1$
  

ブラックマン‐ハリス窓

ブラックマン‐ハリス窓

Blackman‐Harris window。

• $w(x)=0.35875-0.48829\cos 2\pi x+0.14128\cos 4\pi x-0.01168\cos 6\pi x,\ {\mbox{if }}0\leq x\leq 1$
  

ブラックマン‐ナットール窓

ブラックマン‐ナットール窓

Blackman‐Nuttall window。

• $w(x)=0.3635819-0.4891775\cos 2\pi x+0.1365995\cos 4\pi x-0.0106411\cos 6\pi x,\ {\mbox{if }}0\leq x\leq 1$
  

フラット・トップ窓

フラット・トップ窓

flat top window。スペクトルのメインローブの頂部が平らであることから、こう呼ぶ。別の式で表される窓関数を「フラット・トップ窓」と呼ぶことがある。

• $w(x)=1-1.93\cos 2\pi x+1.29\cos 4\pi x-0.388\cos 6\pi x+0.032\cos 8\pi x,\ {\mbox{if }}0\leq x\leq 1$
  

パルザン窓

Parzen window。

ガウス窓の区分3次関数による近似。

• $w(x)={\begin{cases}1-1.5x^{2}+0.75|x|^{3},&{\mbox{if }}|x|\leq 1\\0.25(2-|x|)^{3},&{\mbox{if }}1\leq |x|\leq 2\end{cases}}$

赤池窓

Akaike window。

• $w(x)=0.625-0.5\cos 2\pi x-0.125\cos 4\pi x,\ {\mbox{if }}0\leq x\leq 1$

ウェルチ窓

Welch window。

• $w(x)=4x(1-x),\ {\mbox{if }}0\leq x\leq 1$

MDCT窓関数

MDCT（修正離散コサイン変換）の前処理に使う。 MDCTでの変数定義の慣習にしたがい、離散化には、$x=(k+0.5)/N,\ k=0,\ldots ,N-1$ のデータ数を $2N\,$ とした式

$x={\frac {k+0.5}{2N}},\ \ k=0,\ldots ,2N-1$

を用いることが多い。

サイン窓

sine window。半波余弦窓 (half cycle sine window) とも。MP3など多くのフォーマットが使用。

• $w(x)=\sin \pi x,\ {\mbox{if }}0\leq x\leq 1$

Vorbis窓

Vorbis window。Vorbisが使用。

• $w(x)=\sin \left({\frac {\pi }{2}}\sin ^{2}\pi x\right),\ {\mbox{if }}0\leq x\leq 1$

カイザー‐ベッセル派生窓

Kaiser‐Bessel derived window。KBD窓 (KBD window) とも。AC3やAACが使用。

詳細は「カイザー-ベッセル派生 (KBD) 窓」を参照

フィルタとして使う窓関数

ランツォシュ窓

Lanczos window。ランツォシュ・フィルタとも。ランチョス窓などとも（誤りか）。Lanczosの発音については「現在のハンガリー領出身のユダヤ系ハンガリー人」も参照。

整数パラメタ $n\geq 1\,$ を持つ。$n\,$ の値によって、$n\,$ 次ランツォシュ窓、ランツォシュ $n\,$ 窓などと呼ぶ。

データのデシメーション（画像縮小など）の前処理に、LPF（低域通過フィルタ）として使われる。

• $w(x)=\mathrm {sinc} x\cdot \mathrm {sinc} {\frac {x}{n}},\ {\mbox{if }}|x|\leq n$

ただし、$\mathrm {sinc} x=(\sin \pi x)/\pi x\,$ は正規化sinc関数。

関連項目

• フーリエ変換
• 短時間フーリエ変換
• 修正離散コサイン変換
• ウェーブレット変換
• カイザー窓
• デジタル信号処理
• データ圧縮
• 窓関数 (SQL)

言語間リンク

• en:Window function (画像の出典)

外部リンク

• 窓関数 (Window Function) - 井澤裕司
• フーリエ変換と窓関数 - 測定器玉手箱
• Windows - Paul Bourke
• Window Functions - Roger L. Easton, Jr.
• Ogg/Vorbis in embeded systems