角運動量保存の法則

角運動量保存の法則（かくうんどうりょうほぞんのほうそく）は、質点に働くすべての力の作用線が、常にある一点で交わるときは、質点の角運動量は常に一定であるという保存則である。

例えば、フィギュアスケートの選手が、前に突き出した腕を体に引きつけることで高速スピンをしているのを見ることがある。 このとき腕の長さは短くなるが、かわりに回転が速くなるため角運動量は保存している。

回転する「こま」は、回転軸にそって、時計回りなら下向き、反時計回りなら上向きの角運動量を持っている。 外力が働かなければ角運動量は保存される。外力が加わると「こま」は傾きを保ったまま大きく回転をはじめる（歳差運動）。 このときも「こま」の角運動量と歳差運動の角運動量を合成することで、角運動量保存の法則が成立する。

角運動量保存の法則の証明

角運動量 ${\vec {L}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}$ の時間変化（時間微分）は以下の式のようになる。

${\frac {d{\vec {L}}}{dt}}={\frac {d{\vec {r}}}{dt}}\times {\vec {p}}+{\vec {r}}\times {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}$ (1)

ここで、${\vec {r}}$ は質点の位置ベクトル、${\vec {p}}$は運動量、$t$は時間である。式(1)の右辺の第一項は、

${\frac {d{\vec {r}}}{dt}}\times {\vec {p}}={\vec {v}}\times m{\vec {v}}=m{\vec {v}}\times {\vec {v}}=0$ (2)

すなわち、速度 ${\vec {v}}$ どうしの外積なので0となる。よって、式(1)は次のようになる。

${\frac {d{\vec {L}}}{dt}}={\vec {r}}\times {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\vec {r}}\times {\vec {F}}$ (3)

ここで、${\vec {r}}\times {\vec {F}}$ は、外力 ${\vec {F}}$ による力のモーメントである。したがって、角運動量の時間変化は外力によるモーメントに等しい。これにより、以下のことが分かる。

• もし外力がなければ、すなわち ${\vec {F}}=0$ ならば、当然 ${\vec {r}}\times {\vec {F}}=0$ であり、角運動量は保存される。
• 外力が中心力のときは、力の向きが ${\vec {r}}$ と平行になり、すなわち${\vec {r}}\times {\vec {F}}=0$ となって、角運動量は ${\vec {L}}={\mbox{const.}}$（一定）となり、保存される。

よって、質点に外力がまったく働かないか、あるいは外力が中心力であるならば、その質点の角運動量は保存される（証明終わり）。

ケプラーの法則の第二法則「面積速度一定の法則」は、「角運動量保存の法則」に他ならない。なぜなら、面積速度は

$S={\frac {1}{2}}{\vec {r}}\times {\vec {v}}$

と表すことができるが、これを 2$m$ 倍すると角運動量 $m{\vec {r}}\times {\vec {v}}$ に等しくなる。この法則は天体の間の引力が中心力であることをあらわしている。

角運動量保存則と空間

一般に物理量の保存則は我々の住む時空の対称性の現れであり、角運動量保存則は空間の回転対称性の現れである。空間については運動量保存則から並進対称性を持つことと併せて、自由な移動に対して対称であって、場所や方向によって物理法則が変わることはない。 ただし、弱い相互作用におけるパリティ対称性の破れから、空間が鏡像対称性を持たないこと、すなわち空間には本質的に左右の区別があることが解っている。

関連項目

• 保存則
• 運動量保存の法則