GNS構成法

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作用素代数において、GNS構成法(-こうせいほう、: GNS construction)、またはGelfand–Naimark–Segal構成法とはC*-代数に状態と呼ばれる線形汎関数が与えられたときに、巡回表現と呼ばれる特別な表現を構成する方法。GNSの語は考案者である3人の数学者Gelfand、Naimark、Segalの頭文字に由来する。場の量子論量子統計力学では、ヒルベルト空間を離れ、物理量のなす代数のみから理論を構築してもGNS構成法により、全ての物理量の期待値が与えられたときに、逆にヒルベルト空間とその上の作用による物理量の表現を構成することができる。自由度が無限大である系では、当初に設定した空間を飛び出さねばならないことが多い。このときGNS構成法を用いれば、新しいヒルベルト空間を作ることができる。

概要[編集]

作用素代数の一つであるC*-代数は、有界作用素の有する性質を抽象化し、対合と呼ばれる随伴作用に対応する作用を持つ代数である。C*-代数にはノルムが存在し、ノルムについて完備なバナッハ空間でもある。からあるヒルベルト空間の有界作用素のなす代数への*-準同型写像とすると、の元に有界作用素を対応づけることができる。ヒルベルト空間と*-準同型写像の組を表現と呼ぶ。また、C*-代数の元に対して、複素値を与える規格化された線形汎関数状態と呼ぶ。このとき、GNS構成法では、C*-代数上の状態に対し、巡回表現と呼ばれる特別な表現を構成することができる。ここで巡回表現とは、巡回ベクトルと呼ばれる元が存在し、状態による値をと内積の形で表せるともに、が成り立つような表現である。で与えられる組をGNS構成と呼ぶ。

参考文献[編集]

  • Ola Bratteli and Derek W. Robinson, Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics 1: C*- and W*-Algebras. Symmetry Groups. Decomposition of States, Springer (2002) ISBN 978-3540170938

関連項目[編集]