G2 (数学)

G₂ は14次元単純リー群であり、3つの単純リー群の一つである。対応するリー代数は${\mathfrak {g}}_{2}$であり、代数群の一つである。ランクは2である。G₂の単純形は八元数であり、SO(7)群の正規部分群である。単純ベクトルは8次元スピノール表現に対応する。

概要

リー代数${\mathfrak {g}}_{2}$は最も小さい例外単純リー群である。1887年5月23日、ヴィルヘルム・キリングが今でいる${\mathfrak {g}}_{2}$に該当する14次元単純リー群を提唱した。

詳細

カルタン行列

G₂のカルタン行列は以下の通りである。

$\left({\begin{array}{rr}2&-3\\-1&2\end{array}}\right)$

ディンキン図形及びルート図

ディンキン図形及びルート図は以下の通りである。

G2のディンキン図形	G2のルート系。	A2 の立方八面体への射影	G2の部分群としてのF4とE8の射影

(1,−1,0), (−1,1,0) (1,0,−1), (−1,0,1) (0,1,−1), (0,−1,1)

(2,−1,−1), (−2,1,1) (1,−2,1), (−1,2,−1) (1,1,−2), (−1,−1,2)

ワイル群及びコクセター群

ワイル群及びコクセター群$G=W(G_{2})$は12次元二面体群$D_{6}$である。これの最小次元は$\mu (G)=5$である。

ホロノミー群

G₂ はリーマン多様体におけるホロノミー群の一つである。そのホロノミー多様体はG2多様体とも呼ばれる。

生成子

14個の生成子A, ..., Nから成る生成子行列は以下の通りである。

$A\lambda _{1}+\cdots +N\lambda _{14}=\left({\begin{matrix}0&C&-B&E&-D&-G&F-M\\-C&0&A&F&-G+N&D-K&-E-L\\B&-A&0&-N&M&L&-K\\-E&-F&N&0&-A+H&-B+I&C-J\\D&G-N&-M&A-H&0&J&I\\G&K-D&-L&B-I&-J&0&-H\\-F+M&E+L&K&-C+J&-I&H&0\end{matrix}}\right)$

これは以下のリー群に該当する

$G_{2}=\{g\in \mathrm {SO} (7):g^{*}\varphi =\varphi ,\varphi =\omega ^{123}+\omega ^{145}+\omega ^{167}+\omega ^{246}-\omega ^{257}-\omega ^{347}-\omega ^{356}\}$

$G_{2}$には480の異なる表現がある。 $\varphi$ には30の異なる表式と16の異なる記号がある。代数学的には、少なくとも11の代数は$\mathrm {Spin} (15)$から導かれる。

表現

G₂の77個の表現行列

表現はワイルの指標公式による。これらの表現はオンライン整数列大辞典の数列 A104599にある：

1, 7, 14, 27, 64, 77 (2重項), 182, 189, 273, 286, 378, 448, 714, 729, 748, 896, 924, 1254, 1547, 1728, 1729, 2079 (2重項), 2261, 2926, 3003, 3289, 3542, 4096, 4914, 4928 (2重項), 5005, 5103, 6630, 7293, 7371, 7722, 8372, 9177, 9660, 10206, 10556, 11571, 11648, 12096, 13090....

関連項目

• カルタン行列
• ディンキン図形
• Exceptional Jordan algebra_{（英語版）}
• Fundamental representation_{（英語版）}
• G₂-structure_{（英語版）}
• リー群
• Seven-dimensional cross product_{（英語版）}
• 単純リー群
• ダビデの星