2の補数
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2の補数（にのほすう）は、2、ないし2のべき乗の補数、またそれによる負の値の表現法である。特に二進法で使われる。（数学的あるいは理論的には、三進法における減基数による補数、すなわち 3n − 1 ＝ 2222....2222(3) による補数も「2の補数」であるが、まず使われることはない）
コンピュータの固定長整数型や、固定小数点数で、負の値を表現するためや加算器で減算をするために使われる。
頭の部分の1個以上の0を含む（正規化されていない）ある桁数の二進法で表現された数があるとき、その最上位ビット (MSB) よりひとつ上のビットが1で、残りが全て0であるような値（8ビットの整数であれば、）から、元の数を引いた数が2の補数である。MSBの重みが1であるような固定小数点表現の場合は特に「2」の補数となる。
2の補数表現からの変換
2 の補数は、2 進数表現で正と負の数を符号化する。各ビットの重みは２の累乗であるが、最上位ビットを除き、その重みは対応する２の累乗の負の値である。
N-ビットの整数 の値 w は、次式で与えられる。
最上位ビットは数値の符号を決定し、符号ビットと呼ばれることもある。符号と大きさの表現とは異なり、符号ビットは上記のように重み −(2N − 1) を持つ。N ビットを使うと、−(2N − 1) から 2N − 1 − 1 までのすべての整数を表現することができる。
例
−36（十進法）が、8ビットで、2の補数でどのように表されるかを例として示す。
二進法8ビットで、36は 00100100 である。
100000000 (256) -) 00100100 (36) ------------ 11011100 (220)
したがって、2の補数による−36の表現は 11011100 (220(10))である。
元の数 (00100100) と求められた (11011100) の2つの数を足し合わせると、すべての桁が 0 になり、負数が求められていることがわかる（最上位桁からの桁上がりの 1 は無視する）。
別の求め方
「1の補数に1を加える」という方法もある。算術的に考えると、（たとえばこの例の場合）「256 − 36」という計算を「(255 − 36) + 1」に分解している。
まず
00100100 の各ビットを反転させる（1の補数を求める）と、 11011011
次に1を加えると、
11011011 +) 1 ----------- 11011100
得られた値は、上記の値と同じことが分かる。
2の補数をよく見てみると、1が出てくる最下桁までは元の数とビットが同じで、それよりも上の桁はビットが反転していることが分かる。 そこで、計算の工程数をより削った方法として、1が出てくる最下桁までをそのままにして、それより上の桁のビットを反転させるという方法が考えられる。
1の補数
二進法における、減基数すなわち 2n − 1 による補数を1の補数と言う。1の補数は、全ての桁が1である値から、元の値を引けば求まるが、各ビットの1を0に、0を1に、と反転させても求められる。
00100100（元の数） 11011011（1の補数） 11011100（2の補数）
負の数の値
2の補数で表現された負の数の値を考えるには、二進法の各桁の重みについて、最上位ビット (MSB) のみ符号が反転したものとして計算すれば良い。
たとえば 11012 は、符号無しの二進法であれば、 であるが、2の補数表現による負の数であるとした場合は、 である。
1111 1111 1111 00012 のような、上位側に1が並んだ数の場合も同様にして求めてもよいが、正の数の時に、上位側の0を無視するように、1が連続する間は無視し、最後の1の重みを負として、そこから下位の桁について同様に計算してもよい。
1111 1111 1111 00012 の場合、−16 + ２で、−１４である。
十進法との対応
| 十進表記 | 4ビット整数表記 |
|---|---|
| −8 | 1000 |
| −7 | 1001 |
| −6 | 1010 |
| −5 | 1011 |
| −4 | 1100 |
| −3 | 1101 |
| −2 | 1110 |
| −1 | 1111 |
| 0 | 0000 |
| 1 | 0001 |
| 2 | 0010 |
| 3 | 0011 |
| 4 | 0100 |
| 5 | 0101 |
| 6 | 0110 |
| 7 | 0111 |