1の冪根(いちのべきこん、英: root of unity)、または1の累乗根(いちのるいじょうこん)とは、数学において、冪乗して 1 になる(冪単である)数のことである。すなわち、ある自然数n が存在して
zn = 1
となる z のことである。通常は複素数の範囲で考えるが、場合によっては p 進数のような他の数の体系内で考える場合もある。以下では主として複素数の場合について述べる。
1 の n 乗根の内、m (< n) 乗しても決して 1 にならず、n 乗して初めて 1 になるものは原始的 (primitive) であるという。全ての自然数 n に対する 1 の原始 n 乗根を総称し、1の原始冪根(いちのげんしべきこん)、または1の原始累乗根(いちのげんしるいじょうこん)という。
1の原始冪根
複素数の範囲では、1 の原始 n 乗根は n ≥ 3 のとき2つ以上存在する。ド・モアブルの定理より、
は 1 の原始 n 乗根の一つであることが分かる。この時、ζn の共役複素数ζn も 1 の原始 n 乗根である。n と互いに素な自然数 m に対して ξnm は 1 の原始 n 乗根であり、逆に 1 の原始 n 乗根はこの形に表せる。すなわち、1 の原始 n 乗根は、オイラーのφ関数を用いて、φ(n) 個だけ存在する。