無限算術級数

数学における無限算術級数（むげんさんじゅつきゅうすう、英: infinite arithmetic series）は、その項が算術数列を成す無限級数を言う。 $1 + 1 + 1 + 1 + \cdot \cdot \cdot$ や $1 + 2 + 3 + 4 + \cdot \cdot \cdot$ はその例であるが、無限算術級数の一般形は

\sum _{n=0}^{\infty }(an+b)

と書ける。

a = b = 0

のときは級数の和も

0

であるが、

a, b

のどちらかが非零ならば、級数は発散して通常の意味では和を持たない。

ゼータ正則化[編集]

正しい形 (the right form) での算術級数のゼータ正則化和は、対応するフルヴィッツゼータ函数の値として

\sum _{n=0}^{\infty }(n+\beta )=\zeta _{\text{H}}(-1;\beta )

で与えられる^{[注釈 1]}。ゼータ正則化和

1 + 1 + 1 + 1 + \dots

は

ζR(0) = −.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/2

に、また

1 + 2 + 3 + 4 + \dots

は

ζ R (-1) = - 1 / 12

に（ゼータとしてはリーマンゼータ函数

ζ R

をとって）割り当てられるけれども、上記の和が

{\textstyle -{\frac {1}{12}}-{\frac {\beta }{2}}}

に等しいとは一般にはならない。

^ 一般形は ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }(an+b)=a\sum _{n=0}^{\infty }(n+(b/a))=a\zeta _{\text{H}}(-1;b/a)}$ と見なすと処理できる。

Brevik, I.; Nielsen, H. B. (February 1990). “Casimir energy for a piecewise uniform string”. Physical Review D 41 (4): 1185–1192. doi:10.1103/PhysRevD.41.1185.
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