材料の構成式

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材料の構成式（ざいりょうのこうせいしき、英: Constitutive Equation of Materials）とは、物体を構成する物質の力学的特性の数理的表現であり、固体や流体を連続体に理想化した場合における力と変形との関係（実際には応力とひずみとの関係）を記述するものである。構成則と呼ばれることもある。一方、構成式は材料試験に基づいて供試体の寸法スケールでの巨視的な応力とひずみとの応答挙動を現象論的に数理モデル化したものが多いことから、構成モデルと呼ばれることも多い。一方、材料の微視構造に着目して、変形の素過程に立ち返って構築された構成式もある。

構成式は材料の性質を反映するものであるため、材料特性に関係する定数、すなわち材料定数が必ず含まれる。

構成則が具備すべき性質

物質客観性の原理

材料固有の性質は観測者（標構）によらず不変である。これを物質客観性の原理、あるいは物質標構無差別性の原理という。例えば、ある配置での構成式を形式的に

${\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {\mathcal {F}}}({\boldsymbol {F}})$

と書く。ここで、σ はコーシー応力テンソル、F は変形勾配テンソルであり、F は材料の構成関係を表すテンソル値テンソル関数である。物質客観性の原理を満たすためには、観測者の変化に対して構成式は不変でなければならない。言い換えれば、上式を考えた配置に対して剛体並進・回転だけの付加的な運動が生じても、関数 F の形は変わらないものでなければならない。直交テンソル Q ∈ SO(n_dim) により表される剛体回転の運動を考えると、この剛体回転が生じた後の配置でのコーシー応力テンソル σ^* と F^* はそれぞれ

${\boldsymbol {\sigma }}^{\ast }={\boldsymbol {Q}}{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {Q}}^{\mathrm {T} },\quad {\boldsymbol {F}}^{\ast }={\boldsymbol {Q}}{\boldsymbol {F}}$

となる。物質客観性の原理を満たすためには、剛体回転後の配置におけるこれらふたつの量に対する構成式は

${\boldsymbol {\sigma }}^{\ast }={\boldsymbol {\mathcal {F}}}({\boldsymbol {F}}^{\ast })\quad \rightleftharpoons \quad {\boldsymbol {Q}}{\boldsymbol {\mathcal {F}}}({\boldsymbol {F}}){\boldsymbol {Q}}^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {\mathcal {F}}}({\boldsymbol {Q}}{\boldsymbol {F}})$

でなければならない。

構成則の分類

以下、τ をせん断応力、γ をせん断ひずみ、·τ = dτ/dt をせん断応力速度、·γ = dγ/dt をせん断ひずみ速度とおく。

弾性体

フックの法則に従う最も一般的な固体の構成式である。G は横弾性係数と呼ばれる。

$\tau =G\gamma$

粘性体

ニュートンの粘性法則に従う最も一般的な流体の構成式である。η は粘性係数と呼ばれる。

$\tau =\eta {\dot {\gamma }}$

塑性体

理想的な塑性体では、応力が常にせん断降伏応力 k という材料定数に一致する。

$\tau =k$

上記の3つはいわば理想体であり、実在する材料に近づけるために、これらを組み合わせて様々なモデルが考えられている。

弾塑性体

サンブナンの固体

$\tau ={\begin{cases}G\gamma &(\gamma <k/G)\\k&(\gamma \geq k/G)\end{cases}}$

硬化塑性体

$\tau =k+H\gamma$, H : 定数

粘塑性体

ビンガムの固体ともいう。

$\tau =k+\eta {\dot {\gamma }}$

粘弾性体

マックスウェルの固体

応力緩和を表す。

${\dot {\gamma }}={\frac {\tau }{\eta }}+{\frac {\dot {\tau }}{G}}$

ケルビンの固体

弾性余効を表す。

$\tau =G\gamma +\eta {\dot {\eta }}$

弾粘塑性

弾性、粘性、塑性全ての性質を持つ。地盤のモデルとして使われることがある。

詳細は「土質力学#地盤内の応力と変位」を参照

参考文献

• Fung, Y. C. (1977). A First Course in Continuum Mechanics (2nd edition ed.). Prentice-Hall, Inc.. ISBN 0133183114 
• Lubarda, Vlado A. (2001). Elastoplasticity Theory. CRC Press. ISBN 0849311381. http://books.google.ca/books?id=1P0LybL4oAgC 
• Lubliner, Jacob (2008). Plasticity Theory (Revised Edition). Dover Publications. ISBN 0486462900. オリジナルの2010年3月31日時点におけるアーカイブ。. https://web.archive.org/web/20100331022415/http://www.ce.berkeley.edu/~coby/plas/pdf/book.pdf 
• Nemat-Nasser, Sia (2006). Plasticity: A Treatise on Finite Deformation of Heterogeneous Inelastic Materials. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0521839793. http://books.google.ca/books?id=5nO78Rt0BtMC 
• 益田森治、室田忠雄『工業塑性力学』養賢堂、1980年、2-5頁。ISBN 4-8425-0112-X。 

外部リンク

• 『構成方程式』 - コトバンク